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rang matrice 4x3 avec paramètres
Salut à tous,
je viens de finir un exercice de maths et je voulais m'assurer que ma démarche était juste car je la trouve un peu simpliste.
Voila l'intutilé :
Discuter en fonction des valeurs de a et de b le rang de la matrice 4x3 notée A
a 2 1
2 3 4
1 1 3
3 4 b
Résolution :
Le rang de A correspond au nombre de colonnes/lignes linéairement indépendantes.
Ici, rg(A) inférieur ou égal à 3 (car 3 colonnes).
L2+L3 = L4 si b=7 donc L2 et L3 linéairement indépendantes => rg(A) inférieur ou égal à 2.
L2-L3 = L1 si a=1 idem
2xL4 = L1 si a=3/2 et b=2
Donc, la matrice A est de rang 2 si a=1, ou b= 7, ou A=3/2 et b=2. Sinon A est de rang 3.
Est-ce que j'ai bon ?
Merci d'avance
Bonjour,
il y a quelques erreurs.
Par exemple si b=7 la matrice A peut-être de rang 3, si les 3 premières lignes sont linéairement indépendantes.
est de rang 3.
Faire ce que tu as dit :
Le rang de A correspond au nombre de colonnes/lignes linéairement indépendantes
Ok.
Don je dirais que la matrice A est de rang 2 si :
- a =1 et b =7
ou
- a = 3/2 et b =2
Sinon, la matrice est de rang 3.
Mon raisonnement est-il juste et complet?
Une approche possible...
Les colonnes 2 et 3 sont indépendantes quels que soient a et b. Donc le rang de A est au minimum 2.
Comme tu as montré qu'il était au maximum de 3, tu sais donc que le rang est soit 2 soit 3.
Pour que le rang soit 3, il faut et suffit que les 3 sous-déterminants D1, D2, D3 soient non nuls.
Si l'un des déterminants est nul, le rang est 2.
... à discuter selon et
.
Merci beaucoup à vous deux. Je pensais m'en sortir sans devoir utiliser les sous-déterminants mais en fait cela devient bien plus clair.
ou
conduisent effectivement à
ou
comme conditions suffisantes pour avoir un rang 2.
Mais il y a une troisième possibilité déduite de qui donne une équation en a et b impliquant également le rang 2.
Dans les autres cas : A est effectivement de rang 3.
Tu n'étais pas loin du résultat... mais c'était incomplet 
...
Euh ...
je persiste à croire que est de rang 3.
Et je ne suis pas d'accord avec ça
Pour que le rang soit 3, il faut et suffit que les 3 sous-déterminants D1, D2, D3 soient non nuls.
Si l'un des déterminants est nul, le rang est 2.
J'ai simplifié la matrice en :
a-1 0 0
1 2 1
3 4 7
0 0 b-7
J'ai ensuite calculé les sous-determinants et je ne trouve que b=7 et a=1 comme valeur, est-ce une erreur de ma part?
Ah oui en effet j'ai dit une grosse bêtise en "inversant" la condition 
...
Si un seul des sous déterminants est non nul, le système est bien sûr de rang trois.
Donc pour être de rang 2, il faut que les trois soient nuls.
Ce qui mène à a=1 et b=7 et reste à vérifier que dans ce cas, D3 est nul aussi...
Désolé pubis2luxe... et merci verdurin pour ta vigilance .
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