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Niveau Maths sup
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rang n-1 implique indice de nilpotence n

Posté par
weierstrass
10-05-14 à 10:13

Bonjour,
Soit E un ev de dim finie n et u un endomorphisme de E nilpotent.
J'ai montré que si p0(indice de nilpotence) = n , alors rg(u) = n-1
Je dois maintenant montrer la réciproque:
si rg(u) = n-1 ,p0 = n

J'ai pensé à plusieurs choses: par exemple, à une question précédente, j'ai montré p0n , et je pourrai chercher à montrer p0n

merci d'avance pour votre aide.

Posté par
idm
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 10:25

Salut,
Par réccurence....

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 10:33

j'y avais également pensé en montrant que rg(uk) = n-k, mais je n'y arrive pas.
j'arrive à rg(u(uk)) , mais comment montrer que c'est égal à rg(uk)-1?

Posté par
david9333
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 11:11

Salut !
Tu peux montrer par récurrence que rg(u^k)\ge n-k et en déduire 0=rg(u^{p_0})\ge n-p_0 en utilisant l'inégalité suivante rg(a)+rg(b)-n\le rg(ab)

Pour cette dernière inégalité, on peut considérer a' la restriction de a à \text{Im }b et appliquer le théorème du rang

Posté par
idm
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 11:17

Sinon, si la réccurence ne te va pas, puisque u est nilpotante de rang n-1, sont polynôme minimal est x^{n}, ce qui te permet de conclure...

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 11:19

Pour montrer rg(uk)n-k, il n'y à pas de problème, car on sait que Im(uk+1)Im(uk), et que l'égalité n'est pas possible.

En revanche, pour rg(uk)n-k, je n'ai pas trop de piste...

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 11:21

idm, désolé, je n'ai pas vu les polynômes minimaux...

Posté par
david9333
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 11:23

en procédant par récurrence, tu peux utiliser l'égalité que je t'ai donnée. On verra comment la démontrer ensuite.

le polynôme minimal c'est du programme de spé...

Posté par
idm
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 11:32

Sinon, par l'absurde,
supposons rg(u)=n-1 et p\neq n. Si p=m<n, par l'implication précédente (de ton premier post)précédente, on a que rg(u)=m-1<n-1 ce qui est contradictoire. Si m>n, ainsi par l'implication précédente (toujours de ton premier post), on a que rg(u)=m-1>n-1 ce qui est contradictoire

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 11:45

En utilisant la formule, ça va, mais pour démontrer la formule...
j'ai fait:
       a|Im(b):Im(b)Im(a)Im(b)

formule du rang:  rg(b) + rg(a)Im(b) = n
on applique grassman:
                  rg(b) + rg(a) + rg(b) - dim(Im(a)+Im(b)) = n
             rg(b)+ rg(a) = -rg(b) + dim(Im(a)+Im(b))

je me sens assez loin du résultat, d'ailleurs que signifie ab, aob?

Idm : ça m'a l'air simple et très efficace. Presque trop efficace...
Je vérifie que ça marche bien...
                  

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 11:48

dans ma dernière formule il manque le -n...

Posté par
carpediem
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:04

salut

quelle est la définition d'un endomorphisme nilpotent ?

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:07

il existe n tel que un=0 et un-1 0.
u est alors nilpotent d'indice de nilpotence n

Posté par
david9333
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:08

Je ne comprends pas vraiment ce que tu écris...

ab=a\circ b oui.

L'image de a|_{\text{Im }b} c'est juste \text{Im }ab, on ne peut pas dire grand chose de plus.
Alors, la formule du rang s'écrit \text{dim(Im }ab)+\text{dim}(\ker\ a')=\text{dim(Im }b)
Mais on sait exprimer \ker\ a' en fonction de \ker a et \text{Im }b...

Posté par
david9333
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:10

idm, "l'implication précédente" porte sur n qui est la dimension de l'espace, et donc le résultat n'est pas montré pour tout m<n il me semble.. Il faudrait rajouter quelque là-dessus

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:14

J'ai confondu ensemble de départ et noyau
ker(a') = ker(a)Im(b) = ker(a) + Im(b) - n

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:16

Dans cette implication, n est toujours la dimension de l'espace...

Posté par
carpediem
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:24

alors puisque u annule son polynome caractéristique qui est de degré n = Dim E on en déduit que p = n ou p = n - 1

or rang u = n - 1 donc p = n ....

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:27

Je n'ai pas encore vu les polynômes caractéristiques...

Posté par
david9333
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:28

Oui \ker\ a'=\ker\a\ \cap\ \text{Im }b donc \dim(\ker\ a')\le\dim(\ker\ a).
Si tu injectes ça dans la formule du rang, c'est bon.

carpediem : tout ce qui est polynôme caractéristique/minimal n'est pas abordé en sup, mais seulement en spé.

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:33

Ok, c'est sympa. Une dernière remarque concernant la demonstration d'idm:
Je ne vois pas ou il y aurait une erreur, et si son raisonnement est juste, il me semble généralisable pour beaucoup de démonstrations d'équivalences...

Posté par
david9333
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:45

L'implication que tu as montré c'est
Pour u\in\mathcal{L}(E)\text{dim }E=n, si u est nilpotent d'indice n alors rg(u)=n-1.
et non si u est nilpotent d'indice m alors rg(u)=m-1, quelque soit m.

Par ailleurs, on peut montrer que p-1\le rg(u)\le n\left(1-\cfrac{1}{p}\right), où p est l'indice de nilpotence ; ce qui me laisse à penser qu'on n'a pas toujours rg(u)=p-1 (il faudrait chercher des contre-exemples...)

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:51

exact, merci beaucoup!!(Je me disais bien que c'était trop beau pour être vrai)

Posté par
carpediem
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:52

fg u = n - 1 donc il existe un vecteur x non nul tel que f(x) = 0

indice de f = p donc il existe y non nul tel que fp - 2(y) 0

montrer que ::

la famille (y, f(y), f2(y), ..., fp - 1(y)) est libre

la famille (y, f(y), f2(y), ..., fp - 1(y)) appartient donc engendre Im f


en déduire p - 1 = n - 1 <==> p = n

Posté par
carpediem
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 12:54

rg u = n - 1 donc il existe un vecteur x non nul tel que u(x) = 0

indice de u = p donc il existe y non nul tel que up - 2(y) 0

montrer que ::

la famille (y, u(y), u2(y), ..., up - 1(y)) est libre

la famille (y, u(y), u2(y), ..., up - 1(y)) appartient donc engendre Im u


en déduire p - 1 = n - 1 <==> p = n

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 13:47

effectivement, j'avais montré dans une question précédente que (y, u(y), u2(y), ..., up-1(y)) est libre.
Mais il me semble qu'il y à une erreur:  y n'appartient pas forcément à Im(u).
De plus, card((y, u(y), u2(y), ..., up-1(y)) = p
Ce serait donc (u(y), u2(y), ..., up-1(y)) qui engendre Im(u).
En tout cas merci, cette démonstration est plus dans la ligne de ce qui avait été fait dans les questions précédentes...

Posté par
carpediem
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 14:38

oui tu as raison pour les deux corrections ...


il me semblait bien qu'il fallait simplement repartir de la base ...

dommage de ne pas donner l'énoncé complet dès le départ ....

Posté par
weierstrass
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 14:42

Désolé...
Merci beaucoup!!

Posté par
carpediem
re : rang n-1 implique indice de nilpotence n 10-05-14 à 14:47

de rien



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