Bonjour,
Soit E un ev de dim finie n et u un endomorphisme de E nilpotent.
J'ai montré que si p0(indice de nilpotence) = n , alors rg(u) = n-1
Je dois maintenant montrer la réciproque:
si rg(u) = n-1 ,p0 = n
J'ai pensé à plusieurs choses: par exemple, à une question précédente, j'ai montré p0n , et je pourrai chercher à montrer p0
n
merci d'avance pour votre aide.
j'y avais également pensé en montrant que rg(uk) = n-k, mais je n'y arrive pas.
j'arrive à rg(u(uk)) , mais comment montrer que c'est égal à rg(uk)-1?
Salut !
Tu peux montrer par récurrence que et en déduire
en utilisant l'inégalité suivante
Pour cette dernière inégalité, on peut considérer la restriction de
à
et appliquer le théorème du rang
Sinon, si la réccurence ne te va pas, puisque est nilpotante de rang
, sont polynôme minimal est
, ce qui te permet de conclure...
Pour montrer rg(uk)n-k, il n'y à pas de problème, car on sait que Im(uk+1)
Im(uk), et que l'égalité n'est pas possible.
En revanche, pour rg(uk)n-k, je n'ai pas trop de piste...
en procédant par récurrence, tu peux utiliser l'égalité que je t'ai donnée. On verra comment la démontrer ensuite.
le polynôme minimal c'est du programme de spé...
Sinon, par l'absurde,
supposons rg(u)=n-1 et . Si
, par l'implication précédente (de ton premier post)précédente, on a que
ce qui est contradictoire. Si
, ainsi par l'implication précédente (toujours de ton premier post), on a que
ce qui est contradictoire
En utilisant la formule, ça va, mais pour démontrer la formule...
j'ai fait:
a|Im(b):Im(b)Im(a)
Im(b)
formule du rang: rg(b) + rg(a)Im(b) = n
on applique grassman:
rg(b) + rg(a) + rg(b) - dim(Im(a)+Im(b)) = n
rg(b)+ rg(a) = -rg(b) + dim(Im(a)+Im(b))
je me sens assez loin du résultat, d'ailleurs que signifie ab, aob?
Idm : ça m'a l'air simple et très efficace. Presque trop efficace...
Je vérifie que ça marche bien...
Je ne comprends pas vraiment ce que tu écris...
oui.
L'image de c'est juste
, on ne peut pas dire grand chose de plus.
Alors, la formule du rang s'écrit
Mais on sait exprimer en fonction de
et
...
idm, "l'implication précédente" porte sur qui est la dimension de l'espace, et donc le résultat n'est pas montré pour tout
il me semble.. Il faudrait rajouter quelque là-dessus
alors puisque u annule son polynome caractéristique qui est de degré n = Dim E on en déduit que p = n ou p = n - 1
or rang u = n - 1 donc p = n ....
Oui donc
.
Si tu injectes ça dans la formule du rang, c'est bon.
carpediem : tout ce qui est polynôme caractéristique/minimal n'est pas abordé en sup, mais seulement en spé.
Ok, c'est sympa. Une dernière remarque concernant la demonstration d'idm:
Je ne vois pas ou il y aurait une erreur, et si son raisonnement est juste, il me semble généralisable pour beaucoup de démonstrations d'équivalences...
L'implication que tu as montré c'est
Pour où
, si
est nilpotent d'indice
alors
.
et non si est nilpotent d'indice
alors
, quelque soit m.
Par ailleurs, on peut montrer que , où
est l'indice de nilpotence ; ce qui me laisse à penser qu'on n'a pas toujours
(il faudrait chercher des contre-exemples...)
fg u = n - 1 donc il existe un vecteur x non nul tel que f(x) = 0
indice de f = p donc il existe y non nul tel que fp - 2(y) 0
montrer que ::
la famille (y, f(y), f2(y), ..., fp - 1(y)) est libre
la famille (y, f(y), f2(y), ..., fp - 1(y)) appartient donc engendre Im f
en déduire p - 1 = n - 1 <==> p = n
rg u = n - 1 donc il existe un vecteur x non nul tel que u(x) = 0
indice de u = p donc il existe y non nul tel que up - 2(y) 0
montrer que ::
la famille (y, u(y), u2(y), ..., up - 1(y)) est libre
la famille (y, u(y), u2(y), ..., up - 1(y)) appartient donc engendre Im u
en déduire p - 1 = n - 1 <==> p = n
effectivement, j'avais montré dans une question précédente que (y, u(y), u2(y), ..., up-1(y)) est libre.
Mais il me semble qu'il y à une erreur: y n'appartient pas forcément à Im(u).
De plus, card((y, u(y), u2(y), ..., up-1(y)) = p
Ce serait donc (u(y), u2(y), ..., up-1(y)) qui engendre Im(u).
En tout cas merci, cette démonstration est plus dans la ligne de ce qui avait été fait dans les questions précédentes...
oui tu as raison pour les deux corrections ...
il me semblait bien qu'il fallait simplement repartir de la base ...
dommage de ne pas donner l'énoncé complet dès le départ ....
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :