Exercice 1:
Soit f une application allant de 3[X] dans 3[X] et telle que f(P)=2X*P'-6P.
Déterminer le rang de l'endomorphisme f, puis trouver Im(f).
Je pensais d'abord verifier que f était bien un endomorphisme c'est presque évident. Ensuite je sais très bien faire l'éxo mais l'énoncé impose de trouver d'abord le rang de f avant son image, comment faut-il procéder?
Exercice 2 :
Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie.
Montrer que : Ker(f2)2*dim(Ker(f)) ou f2=fof.
On pourra utiliser g=f/Ker(f2), cad f reduite a l'ensemble Ker(f2) si je ne me trompe pas.
Exercice 3 :
Et aussi un bonus qui me pose probleme, cette fois ci ca traite des fonctions derivables:
Déterminer la dérivée nème de la fonction f : xxn-1*ln(x) ou il s'agit bien du meme n.
Je pense bien utiliser la formule de Leibniz mais c'est justement cette présence du n qui me gène.
Merci a ceux qui pourront me venir en aide.
Salut
pour le 1 tu peux peut être utiliser le théorème du rang car le noyau de ton apllication ne semble pas compliqué à calculer.
Le deuxième par le théorème du rang appliqué à g
tu obteins dim(Ker f²)=dim(Ker f)+rg(g)
Il reste donc à voir que le rang de g est inférieur à dim(kerf)
Pour le 3
tu peux voir que
Cependant admet pour dérivé n-1 eme la fonction nulle
Donc avec
Tu peux montrer par récurrence que si tu dérives (n-1) fois tu obtiens
et donc que
bonjour Djeffrey
Exo1
f une application allant de R3[X] dans R3[X] et telle que f(P)=2X*P'-6P.
f est linéaire. C'est trivial.
Considérez la base canonique de R3[X] (1,X,X²,X^3)=(E0,E1,E2,E3)
f(E0)=6=6E0
f(E1)=2X-6X=-4X=-4E1
f(E2)=4X²-6X²=-2X²=-2E2
f(E3)=6X^3-6X^3=0
donc Kerf={E3} et dimKerf=1.
Considérons le sev de R3[X] engendré par {E0,E1,E2}. Soit Vect({E0,E1,E2}) ce sev.
f laisse stable Vect({E0,E1,E2}) donc Imf=Vect({E0,E1,E2})
et rgf=3
f est la projection sur Vect({E0,E1,E2}) parallèlement à Kerf={E3}.
je vous laisse continuer les autres exos.
bon courage
Merci de ton aide titimarion, peux tu egalement me donner un peu plus d'infos sur la recurrence du 3 stp.
J'arrivevraiment pas a comprendre l'éxo 3, je vois pas bien du tout ce que tu veux dire en parlant de la recurrence...
Si titimarion ne repasse pas ce soir, quelqu'un d'autre peut-il m'aider sur cette dérivée nème s'il vous plait.
Merci
Bonsoir je repasse demain matin de bonne heure je relance l'exercice 3 qui etait:
Déterminer la dérivée nème de la fonction f : xxn-1*ln(x) ou il s'agit bien du meme n.
Je pense bien utiliser la formule de Leibniz mais c'est justement cette présence du n qui me gène.
Merci a ceux qui pourront me venir en aide.
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