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Rangs et dimensions

Posté par Djeffrey (invité) 10-03-05 à 16:19

Exercice 1:

Soit f une application allant de 3[X] dans 3[X] et telle que f(P)=2X*P'-6P.

Déterminer le rang de l'endomorphisme f, puis trouver Im(f).

Je pensais d'abord verifier que f était bien un endomorphisme c'est presque évident. Ensuite je sais très bien faire l'éxo mais l'énoncé impose de trouver d'abord le rang de f avant son image, comment faut-il procéder?

Exercice 2 :

Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie.
Montrer que : Ker(f2)2*dim(Ker(f))  ou f2=fof.

On pourra utiliser g=f/Ker(f2), cad f reduite a l'ensemble Ker(f2) si je ne me trompe pas.

Exercice 3 :

Et aussi un bonus qui me pose probleme, cette fois ci ca traite des fonctions derivables:

Déterminer la dérivée nème de la fonction f : xxn-1*ln(x)  ou il s'agit bien du meme n.

Je pense bien utiliser la formule de Leibniz mais c'est justement cette présence du n qui me gène.

Merci a ceux qui pourront me venir en aide.

Posté par titimarion (invité)re : Rangs et dimensions 10-03-05 à 18:58

Salut
pour le 1 tu peux peut être utiliser le théorème du rang car le noyau de ton apllication ne semble pas compliqué à calculer.

Le deuxième par le théorème du rang appliqué à g
tu obteins dim(Ker f²)=dim(Ker f)+rg(g)
Il reste donc à voir que le rang de g est inférieur à dim(kerf)

Pour le 3
tu peux voir que f'(x)=((n-1)ln(x)+1)x^{n-2}
Cependant x^{n-2} admet pour dérivé n-1 eme la fonction nulle
Donc f^{(n)}(x)=g^{(n-1)}(x) avec g(x)=(n-1)x^{n-2}ln(x)
Tu peux montrer par récurrence que si tu dérives (n-1) fois tu obtiens
f^{(n-1)}(x)=(n-1)!ln(x)
et donc que f^{(n)}(x)=\frac{(n-1)!}{x}

Posté par
watik
re : Rangs et dimensions 10-03-05 à 19:01

bonjour Djeffrey

Exo1
f une application allant de R3[X] dans R3[X] et telle que f(P)=2X*P'-6P.

f est linéaire. C'est trivial.

Considérez la base canonique de R3[X] (1,X,X²,X^3)=(E0,E1,E2,E3)

f(E0)=6=6E0
f(E1)=2X-6X=-4X=-4E1
f(E2)=4X²-6X²=-2X²=-2E2
f(E3)=6X^3-6X^3=0

donc Kerf={E3} et dimKerf=1.

Considérons le sev de R3[X] engendré par {E0,E1,E2}. Soit Vect({E0,E1,E2}) ce sev.

f laisse stable Vect({E0,E1,E2}) donc Imf=Vect({E0,E1,E2})

et rgf=3

f est la projection sur Vect({E0,E1,E2}) parallèlement à Kerf={E3}.

je vous laisse continuer les autres exos.

bon courage

Posté par Djeffrey (invité)re : Rangs et dimensions 10-03-05 à 19:59

Merci de ton aide titimarion, peux tu egalement me donner un peu plus d'infos sur la recurrence du 3 stp.

Posté par Djeffrey (invité)re : Rangs et dimensions 10-03-05 à 21:30

J'arrivevraiment pas a comprendre l'éxo 3, je vois pas bien du tout ce que tu veux dire en parlant de la recurrence...
Si titimarion ne repasse pas ce soir, quelqu'un d'autre peut-il m'aider sur cette dérivée nème s'il vous plait.
Merci

Posté par Djeffrey (invité)re : Rangs et dimensions 10-03-05 à 23:27

Bonsoir je repasse demain matin de bonne heure je relance l'exercice 3 qui etait:

Déterminer la dérivée nème de la fonction f : xxn-1*ln(x)  ou il s'agit bien du meme n.

Je pense bien utiliser la formule de Leibniz mais c'est justement cette présence du n qui me gène.

Merci a ceux qui pourront me venir en aide.

Posté par titimarion (invité)re : Rangs et dimensions 10-03-05 à 23:32

Re
en fait si tu veux tu peux par récurrence sur kpour k\le n-1
montrer que f^{(k)}(x)=\frac{(n-1)!}{(n-1-k)!}x^{(n-1-k)}ln(x)+h_k(x)
avec h une fonction telle que h_k^{(n-k)}=0
pour k=1, cette fonction h_1 n'est autre que la fonction x\rightarrow x^{n-2}

Comme cela tu as f^{(n-1)}(x)=(n-1)!ln(x)+h_{n-1}(x)
de plus h_{n-1}'(x)=0
donc tu obtiens le résultat voulu



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