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rattrapage deug mias ! - formes quadratiques !

Posté par Crulaz (invité) 01-09-04 à 13:42

Bonjour à tous,

J'écris sur ce forum en désespoir de cause. Mon examen de ratrapages en deux mias 2ieme année est dans 2 jours et je n'ai toujours pas trouvé de réponse précise à une question qui revient souvent dans les examens.

Un exemple de la question :

On définit q1 : E --> R, par pour tout X=(x1,x2,x3) € E
q1(x) = x1² + x2² + x3² + 2x1x2 + 2x2x3 - 6x1x3

La question est : Montrer que q1 est une forme quadratique.


Suffit il de dire simplement : c'est un polynome de degré 2 donc c'est une forme quadratique et c'est bon? Si c'est ca ... je suis étonné.

Merci d'avance à quiconque peut m'aider avant le jeudi 2 septembre en soirée au plus tard.

Posté par
charlynoodles
re : rattrapage deug mias ! - formes quadratiques ! 01-09-04 à 14:08

Salut Crulaz ,

Pour démontrer que q1 est une forme quadratique (d'après mes souvenirs )

il suffit de démontrer que l'on peut associer une forme bilinéaire symétrique Q tel que Q(x,x)=q1(x)

On procède par la méthode des dédoublements de termes

Q(x,y)=x1y1 + x2y2 + x3y3 + x1y2 + x2y1 + x2y3 + x3y2
         - 3x1y3 - 3x3y1

Posons La matrice

M =

(1  1  -3)
(1  1  1 )
(-3 1  1 )

désole , je sais pas les faire avec Latex

Ensuite

X=

(x1)
(x2)
(x3)

et Y=
(y1)
(y2)
(y3)

Q(x,y)= tX * M * Y

M est une matrice symétrique donc Q est une forme bilinéaire symétrique.

or Q(x,x)= q1(x) donc q1 est une forme quadratique

voili voilà , j'espère que tu as compris

Courage pour tes rattrapages , moi j'ai eu mon DEUG MIAS en juin

Voili Voilà

Charly

Posté par helmut (invité)re : rattrapage deug mias ! - formes quadratiques ! 01-09-04 à 16:04

salut charly, dis moi comment tu fais pour trouver ta matrice M???

Merci d'avance pour la réponse.

Posté par
charlynoodles
re : rattrapage deug mias ! - formes quadratiques ! 01-09-04 à 16:32

Hello helmut , en fait c'est pas compliqué tu vas voir

Il faut que le produit matriciel ,

Q(x,y) = tX * M * Y donne , une fois développer la forme bilinéaire :


Q(x,y)= x1y1 + .... -3x3y1

En fait pour trouver M :

je vais noter

(a b c)
(d c e)
(f g h)

La première ligne correspond à x1
La deuxième ligne correspond à x2
La troisième ligne correspond à x3

La première colonne correspond à y1
La deuxième colonne correspond à y2
La dernière colonne correspond à y3

A l'intersection , tu mets le coefficients qui se trouve devant le terme en question

Par exemple : a correspond au coefficient devant le terme x1y1 c'est à dire 1

f correspond au coefficient du terme x3y1c'est à dire -3

Une fois : ta matrice trouvée , fais le produit matriciel tu dois retomber sur ta forme bilinéaire symétrique .

T'as raison faut bien trouver la matrice sinon tout le reste est foutu !

En espérant que tu aies compris

Charly



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