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Rayon de convergence

Posté par
Vantin 27-09-22 à 17:13

Bonjour,
J'aimerais montrer que la série:

\sum_{n\ne 0} \frac{e^{-ina}-e^{-inb}}{2*\pi*i*n}*e^{inx} converge pour tout x.
J'imagine qu'il est possible de résoudre ce problème avec le critère d'Abel mais j'aimerais le faire en montrant en utilisant le rayon de convergence. J'ai essayé de calculé la limite de \lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \rvert mais je me perds dans les calculs et ça ne me mène rien.
Je pense qu'il faudrait que la limite soit 0 comme cela on a R=+\infty et on aurait convergence normale partout.

Je précise que [a,b] \subset [-\pi,\pi]

Posté par
GBZMre : Rayon de convergence 27-09-22 à 17:34

Bonjour,

Et la distance uniforme ?

Posté par
Vantinre : Rayon de convergence 27-09-22 à 17:54

Je pensais y avoir répondu, j'ai répondu sur le fil approprié !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Rayon de convergence 27-09-22 à 19:59

Bonjour Vantin


il doit y avoir un problème dans ton énoncé car par exemple pour a=0 et b=\pi on se retrouve avec la série :

\Large\boxed{\sum_{n\geqslant1}\frac{1-(-1)^n}{2in\pi}~e^{inx}} qui n'est pas "convergente pour tout réel x" sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Vantinre : Rayon de convergence 27-09-22 à 20:48

Bonsoir elhor !
La somme va de -l'infini jusqu'à + l'infini.
Voici l'énoncé complet:

Soit f(x) = $\khi[a,b](x)$ la fonction caractéristique de l'interval [a, b] \subset [−\pi, \pi].
La fonction vaut 1 si x est dans l'interval [a,b], 0 sinon.

1- Donner la série de fourier de f

2- Montrer que si  a\ne -\pi, b\ne \pi,  a \ne b, alors la série de fourier ne converge pas absoulement pour tout x.

3-Cependant, prouvez que la série de Fourier converge en chaque point x. Que se passe-t-il si se passe-t-il si a = -\pi et b = \pi ?

1) f(x) \sim \frac{b-a}{2\cdot \pi} + \sum_{n\ne 0}\frac{e^{-ian} - e^{-ibn}}{2\pi\cdot in} \cdot e^{inx}

2)
Pour celle là j'ai utilisé l'indice du livre:
"Hint: It suffices to prove that for many
values of n one has \lvert \sin(n\theta_1)  \rvert  \ge  c > 0 where \theta_1 = \frac{b-a}{2} "


\left\lvert  \frac{e^{-ian} - e^{-ibn}}{2\pi\cdot in} \cdot e^{inx} \right\rvert  =\left\lvert  \frac{ e^{-\frac{in(a+b)}{2} } \left( e^{\frac{in(b-a)}{2} } - e^{-\frac{in(b-a)}{2} }\right)}{2\pi in}  \right\rvert \times 1 = \left\lvert \frac{\sin(n(\frac{b-a}{2}))}{\pi*n}\right\rvert


Pour n\ne 0
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left\lvert  \frac{e^{-ian} - e^{-ibn}}{2\pi\cdot in} \cdot e^{inx} \right\rvert  = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left\lvert \frac{\sin(n(\frac{b-a}{2}))}{\pi*n}\right\rvert = \frac{2}{\pi} \sum_{n\ge 1} \left\lvert \frac{\sin(n(\frac{b-a}{2}))}{n}\right\rvert

Il faut trouver une constante (positive) tel que
\sin(n(\frac{b-a}{2})) \ge C  et on pourra arriver à la conclusion souhaitée  par comparaison à la série harmonique.
ça j'y réfléchis encore...

3) J'en suis rendu à des calculs de limite mais je ne m'en sors pas

Posté par
Vantinre : Rayon de convergence 28-09-22 à 16:08

Je reviens pour apporter quelques avancées:

Pour la question 2:
Je viens me rendre compte qu'il est impossible de trouver une constante C tel que \lvert sin(n*(b-a)/2) \rvert pour tout n car sin(x) est dense entre -1 et 1 donc bonne chance pour trouver un minorant...
D'où l'indice disant "pour une majorité de n", je bloque toujours maisau moins maintenant je comprends un peu l'indice.
Reste à voir pourquoi il est vrai d'appliquer un théorème de comparaison quand ce n'est pas vrai pour tout n.

Pour la question 3, je viens de réussir à prouver que la série converge via le critère d'Abel. Je bloque toujours pour déterminer R via le critère de d'Alembert, je suspecte \lvert  \frac{a_{n+1}}{a_n} \rvert de ne pas avoir de limite d'où mes soucis de trouver l. Je ne sais pas si c'est possible qu'une série entière existe tel que le rapport de a_n+1 sur a_n n'admette pas de limite, je n'ai jamais vu cela.

Il y aurait t-il une méthode pour déterminer R sans passer par un calcul de limite ?

Posté par
jandri Correcteurre : Rayon de convergence 28-09-22 à 16:16

Bonjour,

cela n'a pas de sens de calculer R puisqu'il ne s'agit pas d'une série entière.

Posté par
Vantinre : Rayon de convergence 28-09-22 à 17:10

Bonjour jandri,
Peux-tu préciser pourquoi ?
a_n = \frac{e^{ina}-e^{inb}}{2in\pi}
z^n = (e^{ix})^n  à moins que z ne soit pas une variable complexe ?

Posté par
jandri Correcteurre : Rayon de convergence 28-09-22 à 17:57

D'accord, je raisonnais avec la variable x. La série \sum(a_nz^n) est bien une série entière mais le calcul de son rayon de convergence ne servira pas à montrer que la série converge car on est sur le bord du disque de convergence.

D'ailleurs il s'agit d'un exercice sur les séries de Fourier, pas sur les séries entières.
Il faut supposer que la fonction f est 2\pi-périodique.

La convergence de la série de Fourier pour tout x résulte du théorème de Dirichlet puisque la fonction f est clairement de classe C^1 par morceaux.

Posté par
Vantinre : Rayon de convergence 28-09-22 à 18:01

Mais si le disque est infini, il n'a pas de bord donc si R=+inf alors la série converge partout, du moins c'est comme cela que je vois les choses, je me trompe ?

Posté par
Vantinre : Rayon de convergence 28-09-22 à 18:04

Je n'ai pas encore vu ce théorème, j'utilise donc les outils que j'ai vu pour répondre à cette question et les séries de fourier sont des séries  entières donc je trouvais l'utilisation du rayon pertinente

Posté par
jandri Correcteurre : Rayon de convergence 28-09-22 à 18:32

Pour la série \sum a_nz^n le rayon de convergence n'est pas infini (c'est comme pour la série \sum\dfrac{z^n}n).

Si on ne dispose pas du théorème de Dirichlet il y a une façon élémentaire de prouver que la série converge.

On calcule pour 0<x<2\pi :

\sum_{n=1}^N\dfrac{e^{nix}}n=\int_0^1\sum_{n=1}^Ne^{nix}}t^{n-1}dt=e^{ix}\int_0^1\dfrac{1-(te^{ix})^N}{1-te^{ix}}dt=e^{ix}\int_0^1\dfrac1{1-te^{ix}}dt-R_N

Ensuite on montre que |R_N|\leq \int_0^1\dfrac{t^N}{|1-te^{ix}|}dt\leq \dfrac1{mN} si m est le minimum de |1-te^{ix}| pour t\in[0,1].

On prouve ainsi que |R_N| tend vers 0 quand N vers l'infini.
La convergence de la somme pour n\leq-1 s'obtient en changeant x en -x.

Pour \sum_{n\neq0}\dfrac{e^{-nia}}ne^{nix}} on change x en x-a (on vérifie qu'on a bien 0<x-a<2\pi quand -\pi<a<x<b<\pi).

Posté par
Vantinre : Rayon de convergence 28-09-22 à 18:45

je vois! merci


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