Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Rayon de convergence d'une série entiere

Posté par
Mihawk 21-09-07 à 23:19

bonsoir,

cette année je suis en master et les profs nous ont demandé de nous occuper d'un tutorat pour les eleves de licence. En principe on est censé maitriser tout le programme. Mais là, ca fait longtemps que j'ai pas toucher a ce chapitre (les series entieres) et j'avoue avoir certaines lacunes.

je me suis donc replongé dans mes cours mais j'ai toujours un probleme a resoudre un exercice. Aussi je me suis resolu a poster ici (j'avoue que j'ai un peu honte ... mais a ma decharge je ne peux utiliser que des outils de 1ere année c'est a dire grosso modo des outils de terminale et en particulier aucun DL ).

Voici le probleme :

Je dois déterminer le rayon de convergence de la série entière \sum{ln(1+\frac{1}{n})x^n}

En me replongeant dans mes cours de l'epoque, j'ai retrouvé cette methode pour déterminer le rayon de convergence :

Pour une serie \sum{a_n x^n}, où les a_n sont non nuls, on a : \frac{a_{n+1}}{a_n} \rightarrow \frac{1}{R} où R est le rayon de convergence de la série.

Cependant, en appliquant cette méthode, on se retrouve avec une forme indeterminée que je n'arrive pas a casser.

J'ai donc essayer de majorer la serie par une autre serie convergente :

on a : \sum{ln(1+\frac{1}{n})x^n} \le \sum{(1 + \frac{1}{n})x^n}

et \sum{(1 + \frac{1}{n})x^n} converge de rayon de convergence 1

on a donc \sum{ln(1+\frac{1}{n}) x^n} convergente de rayon de convergence inferieur a 1.

si je prends x > 1 ca diverge, ca c'est etabli.

si je prends x < 1, que se passe-t-il?

dans l'ideal je devrais pouvoir minorer ma serie par une autre convergente de rayon 1... mais ca c'est idyllique. Il faut donc mettre les mains dans le cambouis.

je regarde donc la queue de la série quand x < 1, c'est a dire :

Soit n \in \mathbb{N} fixé. la queue de la série est : \sum_n^{+\infty} {ln(1+\frac{1}{k}) x^k} et ce truc la devrait tendre vers 0 en l'infini... sans conditions supplementaires sur x si le rayon de la série est 1 (ce que je suspecte grandement)

et ca j'arrive pas a le montrer...

c'est donc la que j'ai besoin de l'aide des courageux qui ont lu ce pavé jusqu'au bout.

Si vous voyez une faille dans ma méthode n'hesitez pas a relever, j'ai oublié pas mal de trucs relatifs a ce cours et je ne suis sur d'a peu pres rien...

Merci d'avance pour votre aide

Mihawk

Posté par
Mihawkre : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:22

une petite correction pour ma queue de série :


Soit n \in \mathbb{N} fixé. la queue de la série est : \displaystyle \sum_{k=n}^{+\infty}{ln(1 + \frac{1}{k}) x^k} et ce truc la devrait tendre vers 0 en l'infini... sans conditions supplementaires sur x si le rayon de la série est 1 (ce que je suspecte grandement)

Posté par
Rodrigore : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:27

Heu ya quelques petits problèmes...D'ou tu sors ta majoration pour moi on majore plutot log(1+1/n) par 1/n et du coup ta série majorante c'est \sum \frac{x^n}{n} Du coup ta série a un RDC qui est plus grand que 1...
Pour x=1 il est facile que la série de log(1+1/n) qui est positive et equivalente à 1/n diverge. Ceci t'assure que ton RDC est exactement 1
Est-ce clair?

Posté par
Mihawkre : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:29

ma majoration vient de : ln(x) < x pour tout x positif ou nul.

quand a ln(1 + 1/n) equivalente a 1/n .... comment tu montres ca sans la notion de DL ni celle d'equivalent?

Posté par
Rodrigore : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:30

log(1)>0...
Non c'est log(1+x)<=x

Posté par
Rodrigore : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:31

Oulah, désolé j'ai dit de la merde, oui on a log(x)<x...mais ma majoration suffit

Posté par
Mihawkre : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:33

dans ce cas la mienne aussi puisque on a que mon rayon de convergence est inferieur ou egal a 1.

mais en prenant x = 1, avec des outils de terminale je n'arrive pas a montrer que ca diverge...

Posté par
Rodrigore : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:37

Tu peux utiliser la minoration log(1+1/k) \geq \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} qui doit pas etre tres dure a montrer avec des outils de tale et tu conclue facilement...

Posté par
Rodrigore : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:38

Decidement je suis fatigué il manque un 2 a cote du k², ce qui ne change rien...

Posté par
freniclere : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:40

Bonsoir,
ln(1 + 1/n) est équivalent à 1/n quand n tend vers l'infini. Donc an+1/an tend vers 1 et c'est fini, non ?

Cordialement
Frenicle

Posté par
Rodrigore : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:42

Oui mais la règle de d'alemebert n'est pas au prog de tale, ni les équivalents...

Posté par
Mihawkre : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:42

frenicle > oui... a condition de pouvoir utiliser la notion d'equivalent... qui n'a pas ete definie dans le cours des eleves...

je dois donc me debrouiller sans DL ni notion d'equivalence...

Posté par
Mihawkre : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:43

d'alembert il l'ont vu qd meme... faut pas exagerer, ce sont des eleves de 1ere année de fac, ils ont vu qq trucs de plus qu'en la terminale... ^^

Posté par
Rodrigore : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:43

C'est ceci dit tres curieux d'attaquer les series sans avoir jamais vu d'equivalents, ou de DL

Posté par
freniclere : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:45

En terminale on sait que ln(1+x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0 quand même (la dérivée de ln(x) en x = 1 est égale à 1).

Posté par
Mihawkre : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:47

rodrigo > d'accord avec toi mais bon...c'est pas moi qui fait le cours...

frenicle > pas bete ca... vais essayer d'en faire qqch... j'y avais pas pensé.

Posté par
freniclere : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:49

Bon courage, Mihawk

Posté par
Rodrigore : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:51

Ceci dit ma méthode marche et pour démontrer la minoration que je te propose (qui soit dit en passant permet de prouver que nlog(1+1/n) tend vers 1 et prouve ton critère de d'alembert...) tu peux utiliser une ineg des accroisement finie (la minoration) sur [0,1/k] pour la fonction log(1+x)

Posté par
Mihawkre : Rayon de convergence d'une série entiere 21-09-07 à 23:53

lol rodrigo, c'est justement ce que j'etais en train de tenter ^^

les grands esprits se rencontrent comme on dit :p

en tout cas un grand merci ^^

ca m'enleve une sacrée épine du pied ^^


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !