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Rayon spectral

Posté par
Yona07 13-11-22 à 10:33

Bonjour!

Soit A\in M_n(K), on note \rho (A)=\max_{\lambda \in Sp(A)}|\lambda| le rayon spectral de la matrice A. On se propose de montrer pour une norme N quelconque sur M_n(K) que l'on a:

\rho (A)=\lim_{k\rightarrow +\infty}(N(A^k))^{\frac{1}{k}}

a) Soit kN*. Montrer que  \rho (A^k)=(\rho(A))^k.

b)Soit  A\in M_n(K) et k\in \N^*, montrer que \rho (A)\leq (N(A^k))^{\frac{1}{k}}\leq N(A) lorsque N est une norme d'algèbre.

c)Montrer que la nature et la valeur de \lim_{k\rightarrow +\infty}(N(A^k))^{\frac{1}{k}} ne dépendent pas de la norme N choisie.

d) Justifier l'existence d'une matrice P\in GL_n(\C) tel que  P^{-1}AP=T soit triangulaire supérieure. On se donne un tel P fixé.

e) Soit \epsilon>0, on note D_{\epsilon} la matrice diagonale de M_n(\R) définie par: D_{\epsilon}=diag(1,\epsilon, ...., \epsilon^{n-1}), pour M\inM_n(K) on pose:

N_{\epsilon}=N_{\infty}(D_\epsilon^{-1}P^{-1}MPD_\epsilon)

  i) Justifier que  N_\epsilon est la norme sur  M_n(K) induite par ||x||=||D_\epsilon^{-1}P^{-1}x||_\infty de K^n.
  ii) Que vaut  K^n\lim_{\epsilon\rightarrow ^+}(D_\epsilon^{-1}P^{-1}APD_\epsilon)? En déduire que \lim_{\epsilon\rightarrow ^+}N_\epsilon(A)=\rho(A).

  iii) Montrer que \rho(A)=\lim_{\epsilon\rightarrow ^+}(N_\epsilon(A^k))^{\frac{1}{k}}.

f) Conclure.

Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Rayon spectral 13-11-22 à 10:37

salut

et alors ? qu'as-tu fait ?

soit a une valeur propre de A ... que peut-on dire de a pour A^k ?

Posté par
Yona07re : Rayon spectral 13-11-22 à 10:47

D'abord, pour a)

On note: |\lambda_0|=\rho(A)

\text{Pour tout }\lambda\in Sp(A): |\lambda|\leq |\lambda_0|\\ \text{Donc } |\lambda|^k\leq |\lambda_0|^k\\ \text{Alors } |\lambda^k|\leq |\lambda_0|^k, \text{ ceci est pour tout } \lambda \text{ de } Sp(A)\\ \text{Ainsi } \rho(A^k)\leq (\rho(A))^k


\text{On a: } |\lambda_0^k|\leq \rho(A^k)\\ \text{Donc } |\lambda_0|^k\leq \rho(A^k)\\ \text{Ainsi: } (\rho(A))^k \leq \rho(A^k)


\text{D'où: } (\rho(A))^k = \rho(A^k)

Posté par
Yona07re : Rayon spectral 13-11-22 à 10:48

carpediem @ 13-11-2022 à 10:37

salut

et alors ? qu'as-tu fait ?

soit a une valeur propre de A ... que peut-on dire de a pour A^k ?


Salut!
Les valeurs propres de A^k sont les puissances k-ième des valeurs propres de A.

Posté par
carpediemre : Rayon spectral 13-11-22 à 11:11

ouais il faut quand même le dire (et le justifier) avant ton raisonnement ...

une remarque : la fonction x --> x^k est continue donc le résultat est immédiat

b/ une norme d'algèbre est sous-multiplicative ...

Posté par
Yona07re : Rayon spectral 13-11-22 à 11:19

Pour b),
Soit A\in M_n(\K).
On montre d'abord que \rho(A)\leq N(A).

Là, je pense qu'il faut distinguer deux cas: K=R et K=C. Parce qu'il se peut que Sp_{\R}(A)=\phi.??

Soit N une norme matricielle sur M_n(\C).

A\in M_n(\C) \text{ donc, }\chi _A \text{ est scindé, alors: } Sp_{\C}(A)\neq \phi .\\ \text{Soit donc: } \rho(A)=\max_{\lambda\in Sp_{\C}(A)}|\lambda|=|\lambda_0|.\\\text{Il existe alors } X\in M_{n,1} (\C)-\{0\} \text{ tel que } AX=\lambda_0X\\ \text{donc: } N(AX)=N(\lambda_0X), \\\text{ainsi: } N(AX)=|\lambda_0|N(X), \\\text{en fait: }N(AX)\leq N(A)N(X), \text{ alors: } |\lambda_0|N(X)\leq N(A)N(X), \\\text{ or: } N(X)\neq 0 \text{ car} X\neq 0, \text{ donc: } |\lambda_0|\leq N(A), \text{ i.e: } \rho(A)\leq N(A)








                                                                                                                                                                          

Posté par
Yona07re : Rayon spectral 13-11-22 à 11:25

Le cas de A\in M_n(\R)..C'est un peu délicat..
Je ne sais pas vraiment d'où commencer...

Posté par
carpediemre : Rayon spectral 13-11-22 à 11:29

on peut supposer que Sp (A) (et éventuellement traiter ce cas à part plus tard)

attention tu mélanges deux normes : N sur M_n (K) et ||x|| sur K

Posté par
Yona07re : Rayon spectral 13-11-22 à 11:39

carpediem @ 13-11-2022 à 11:29


attention tu mélanges deux normes : N sur M_n (K) et ||x|| sur K

M_n(K) est une algèbre munie de la norme vectorielle ||.||.
La norme matricielle N est calculée sur M_n(K) à partir de ||.||.

Posté par
Yona07re : Rayon spectral 13-11-22 à 11:51

Ah bon, je vois.
N(A)=|||A|||=\max_{X \in M_n{K}-\{0\}}\frac{||AX||}{||X||}

Posté par
Yona07re : Rayon spectral 13-11-22 à 12:14

Sp_{\C}(A)\neq \phi .\\ \text{Soit donc: } \rho(A)=\max_{\lambda\in Sp_{\C}(A)}|\lambda|=|\lambda_0|.\\\text{Il existe alors } X\in M_{n,1} (\C)-\{0\} \text{ tel que } AX=\lambda_0X\\ \text{donc: } ||AX||=||\lambda_0X||, \\\text{ainsi: } ||AX||=|\lambda_0|.||X||\leq ||A||.||X||= N(A).||X||, \\\text{ or: } ||X||\neq 0 \text{ car} X\neq 0, \text{ donc: } |\lambda_0|\leq N(A), \text{ i.e: } \rho(A)\leq N(A)

Posté par
carpediemre : Rayon spectral 13-11-22 à 12:19

non ce n'est pas ça (le pb) : tu as écrit par exemple

Citation :
N(AX)\leq N(A)N(X)


c'est ||Ax|| \le N(A) ||x||

x est un "vecteur" !!


enfin et sauf cas particulier on peut effectuer le raisonnement avec une valeur propre quelconque et passer au sup au final quand on prend les normes

et on peut choisir x de norme 1 puisque si Ax = ax alors si on pose y = x/||x|| on a aussi Ay = ay


PS : et évite de rédiger avec latex ... uniquement les formules ou calculs


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