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recherche d'extrémas d'une fonction

Posté par
romu 18-06-08 à 20:45

Bonsoir,

je souhaite déterminer les extrémas sur \mathbb{R}^2 de la fonction définie par f(x,y)=(x-y)e^{xy}.

Je commence à chercher les points critiques, ie les points de a=(a_1,a_2)\in \mathbb{R}^2 tels que df(a)=0_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}).

Il est clair que f est C^1 (et même C^{\infty}) sur \mathbb{R}^2.

Je trouve que pour tout (x,y)\in \mathbb{R}^2, \partial_1 f(x,y) = e^{xy}(1+yx-y^2) et \partial_2 f(x,y) = (x^2-yx-1).

Soit a=(a_1,a_2)\in \mathbb{R}^2. Soit h=(h_1,h_2)\in \mathbb{R}^2,

on a df(a).h = h_1 \partial_1 f(a_1,a_2) + h_2 \partial_2 f(a_1,a_2) = e^{a_1 a_2} \[(1+a_2 a_1 - a_2^2)h_1 + (a_1^2-a_2 a_1 - 1)h_2\],

là je ne vois pour quelles valeurs de a_1, a_2 on a df(a)=0_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}).

Merci pour votre aide.

Posté par
lafol Moderateurre : recherche d'extrémas d'une fonction 18-06-08 à 21:43

Bonjour
la différentielle est une forme linéaire, nulle si ses coeff le sont.
ce ne sera pas grâce à l'expo, il te reste à résoudre

1 + xy - y² = 0
x²- xy - 1 = 0

par somme, tu as déjà x = plus ou moins y
en reportant dans les équations, ça donne des trinômes, ça se résout, non ?

Posté par
romure : recherche d'extrémas d'une fonction 21-06-08 à 12:48

d'accord, du coup je trouve deux points critiques : \pm (\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}).

merci lafol

Posté par
romure : recherche d'extrémas d'une fonction 23-06-08 à 14:29

Pour le premier point critique, A=(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}).

J'ai déterminé la matrice Hessienne de f au point A,

3$\textrm{Hess}_f(A) = \(\array{ -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2} & 3 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2}\\ 3 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2} }\),

et la forme quadratique associée:

pour tout h=(h_1,h_2)\in \mathbb{R}^2,

3$ Q_A(h) = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2}h_1^2 + 3\sqrt{2} e^{-2} h_1 h_2 - \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2}h_2^2.


En appliquant l'algorithme de Gauss, j'en arrive à la mettre sous cette forme:

3$ Q_A(h) = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2} (h_1-3h_2)^2 \leq 0,

j'en déduis que Q_A est négative mais pas définie.

Là je ne vois pas comment pousser plus loin la recherche afin de voir si f admet un maximum local en ce point.

Posté par
lafol Moderateurre : recherche d'extrémas d'une fonction 23-06-08 à 14:36

Bonjour
compare f(\fr{\sqrt{2}}{2}+h;-\fr{\sqrt{2}}{2}+h) avec f(\fr{\sqrt{2}}{2};-\fr{\sqrt{2}}{2})

Posté par
romure : recherche d'extrémas d'une fonction 23-06-08 à 14:58

ah oui effectivement ce n'est pas un maximum local,

merci lafol

Posté par
lafol Moderateurre : recherche d'extrémas d'une fonction 23-06-08 à 14:59

avec plaisir


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