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Recherche d'extremum d'une fonction dérivable

Posté par
lizoo 04-01-07 à 11:24

Bonjour à vous,
Profitant des vacances de Noel pour travailler consciencieusement mes maths,
je bute sur un petit problème...

En effet, dans mon polycop' portant sur la dérivation des fonctions et ses applications, le prof' aborde sans approfondir la recherche de l'extremum d'une fonction dérivable à plusieurs variables...

il indique la méthode suivante :
-> recherche de toutes les valeurs qui annulent simultanément les dérivées premières de la fonction
-> calcul des dérivées secondes pour fabriquer le hessien
-> calcul du déterminant
-> recherche de la nature de l'extremum


mais ce grand malin, n'a pas traité d'exemple !!
donc je suis en train d'essayer de bricoler un truc pour tenter de comprendre...

Commençons pas des choses simples - enfin j'espère -
f(x;y) = ax2 + by2 + c

-> recherche de toutes les valeurs qui annulent simultanément les dérivées premières de la fonction
f / x = 2ax    2ax=0 <=> x=0
f / y = 2by    2by=0 <=> y=0

-> calcul des dérivées secondes pour fabriquer le hessien
2f / x2 = 2a
2f / y2 = 2b
2f / xy = 0

et on fabrique le hessien... euh oui bien sur... mais comment?
c'est quoi?
ça sert à quoi?

merci d'avance!

Posté par
nishare : Recherche d'extremum d'une fonction dérivable 04-01-07 à 11:50

salut! pourquoi tu négliges la constante c, sachant que pour que la dérivée soit nulle, tous les termes de l'équation doivent l'etre.

Posté par
fusionfroidere : Recherche d'extremum d'une fonction dérivable 04-01-07 à 14:45

Salut

Le hessien est en gros la matrice contenant les dérivées secondes

Ici, tu peux poser 4$r=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, puis 4$t=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} et 4$s=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}

Le hessien est alors la mtrice :

r  s
s  t

Posté par
lizoore : Recherche d'extremum d'une fonction dérivable 04-01-07 à 18:29

fusionfroide > vu pour le hessien...
mais lorsqu'on a trois variables x y et z comment s'y doit-on s'y prendre ??

Nisha > c'est quoi cette histoire de constante ? dans la dérivée on a plus de constante... je vois pas trop où tu veux en venir... pourrais tu développer s'il te plait si tu as le temps...

et merci encore une fois de votre aide!

Posté par
nishare : Recherche d'extremum d'une fonction dérivable 04-01-07 à 18:36

non désolée, il y a aucun rapport avec les constantes, je me suis trompée! désolée de t'avoir donné à réfléchir

Posté par
fusionfroidere : Recherche d'extremum d'une fonction dérivable 04-01-07 à 18:41

Lorsque tu as trois variables :

3$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}  3$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}  3$\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x}
3$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}  3$\frac{\partial^2f}{\partial y^2}  3$\frac{\partial^2f}{\partial z\partial y}
3$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}  3$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial z} 3$\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}


Tu remarquera que si les dérivées partielles sont continues en le point où tu les calcules, alors d'après le lemme de Schwarz, tu en déduis que la hessienne est symétrique

Posté par
fusionfroidere : Recherche d'extremum d'une fonction dérivable 04-01-07 à 18:42

remarqueras


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