Intuitivement, je répondrais qu'une telle fonction n'existe pas, dans la mesure où la somme d'une série entière est définie par une infinité dénombrable de coefficients, tandis que son noyau aurait la puissance du continu.
Je crois même que cela doit se démontrer rigoureusement (je réfléchis en même temps que j'écris) en faisant un développement de Taylor autour d'un point où elle est nulle, ainsi que toutes ses dérivées...

Salut,


Une fonction analytique non nulle et nulle à l'infini ? tu risques d'avoir un peu de mal à en trouver une ...

Je ne connais plus bien les fonctions analytiques.

En tout cas, on doit pouvoir construire des fonctions (non nécessairement analytiques) C^oo non nulles sur [a;b] et nulles ailleurs. Par exemple en utilisant des translatées de , qui une fois prolongée par 0 en 0⁺ doit avoir toutes ses dérivées à droite nulles. Du moins, je crois.

Nicolas

PS - Ne tapez pas trop fort si j'ai dit une bêtise.

Non je ne pense pas dire de bêtises en disant qu'il est pas possible de trouver une fonction analytique non nulle sur un domaine et identiquement nulle partout ailleurs. En revenche on peut avoir une fonction qui ait des valeurs non négligeable dans un domaine et qui converge très vite sur zéro en dehors. Je pense surtout aux gaussiennes du type

Mes remerciement les plus sinceres s'adressent à vous pour m'avoir répondu à ma question:
vous etes tous d'accord qu'il y a aucune fonction analytique f non nulle sur un intervalle et nulle ailleur.
Le chèr piepalm a donné une indication sur le fait de démontrer rigoureusement qu'une telle fonction analytique n'existe pas, en fait: il dit qu'il suffit de développer  f en série entière autour du point a par exemple:
Un tel développement est le suivant:
pour x appartenant à un voisinage de a. (Je m'excuse je sais pas ecrire conveneblement {k factoriel} c'est pourquoi je l'ai noté {k|})
Je ne vois pas la contradiction à laquelle je vais arriver si je suppose que la fonction analytique en question existe bien.
je ne sais pas si quelqu'un peut m'eclaircir le chemain et surtout piepalm parce que c'etait sa méthode de montrer rigoureusement qu'une telle fonction n'existe pas.
et merci bien d'avance pour votre aide.
Amicalement Moumni

Mon indication était de développer en SE autour d'un pt c n'appartenant pas à }a,b{. C'est de la forme indiquée dans le message ci-dessus avec c à la place de a et (x-c)^k au lieu de x^k (qui aurait du être x-a)^k...)
Puisque f est nulle dans un voisinage de c, toutes ses dérivées sont également nulles en c
Donc le développement en SE ne peut être qu'identiquement nul!
Compris?

Merci bien mon chèr piepalm pour votre deuxième réponse, mais veuillez m'excuser, vous avez parfaitement raison il faut mettre (x-a)^k au lieu de x^k. mais juste une petite reproche concernant votre méthode:
Si j'ai bien compris on va raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe une fonction analytique f non nulle sur l'intervalle ]a,b[ et identiquement nulle ailleurs, et on va développer f en série entière autour d'un point c n'appartenant pas à ]a,b[ .
Vous avez raison en disant que f est nulle dans un voisinage de c donc toutes ses dérivées sont également nulles en c et dela on peut déduire que le développement en série entière est nul dans un voisinage de c et non pas , à mon avis (sauf si on le démontre) , sur IR tout entier.
et comme ça on aura pas de contradiction et le raisonnement par l'absurde ne marche pas.
Que va-t-on faire ???????????????????
mecrci bien pour votre eclaircissment .
Amicalement Moumni

Je crois qu'en fait il faut développer autour de a: toutes les dérivées à gauche sont nulles en ce point, mais comme f est analytique, elle est infiniment dérivable, donc toutes les dérivées sont nulles en a, et en utilisant le développement en SE, il existe un voisinage à droite de a où f est identiquement nulle...
Voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_analytique, au début des principaux théorèmes...

Merci bien mon chèr  piepalm j'ai fait le développement de f en SE au point a et ça bien marché. merci bien encore une autre fois
amicalement Moumni