Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau troisième
Partager :

Recherche enigme

Posté par
Cathybenoit
26-10-21 à 16:42

Bonjour
Ca fait une semaine que je je travaille sur ce problème mais je n'y arrive pas. Est-ce que quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider S.V.P ?
Voici l'énoncé :

Le problème :
Dans un vieux manoir, la salle de réception est
de forme carrée.
Le propriétaire, obnubilé par les carrés, désire
recouvrir le sol de cette salle avec des motifs carrés.
Mais il hésite sur la taille, le nombre et la
disposition des motifs...
Un artisan lui a proposé les dallages suivants :
Malheureusement, nombres-là ne plaisent pas au
propriétaire : ses nombres favoris sont en effet le 20
et le 2019.
a]Pensez-vous possible de recouvrir la salle de
réception avec 20 dalles ? Avec de 2019 dalles ?
b] Plus généralement, quel est le nombre de dalles
possibles pour recouvrir la pièce ?

Pour 20 dalles j'ai trouvé plusieurs solutions :
    - 10 sur un coté de la salle, 10 sur le deuxième côté perpendiculaire au premier et un grand carré.
     - 1 grand, 1 moyen, 1 moyen petit, 12 petits et 5 petitis petit.

Pour 2019 je ne voit pas comment tracer toutes les solutions et encore moins un cas général.

Merci pour votre aide.

Posté par
malou Webmaster
re : Recherche enigme 26-10-21 à 17:00

Bonjour Cathybenoit

si tu mets 10 dalles sur un côté et 10 sur l'autre, moi je crois bien que tu vas obtenir 100 dalles pour ton carrelage....qu'en penses-tu ?

Posté par
Cathybenoit
re : Recherche enigme 26-10-21 à 18:23

Non

Recherche enigme

Posté par
malou Webmaster
re : Recherche enigme 26-10-21 à 18:25

euh t'as déjà vu du carrelage comme ça toi ?

Posté par
Cathybenoit
re : Recherche enigme 26-10-21 à 18:52

Dans le problème on nous dit l'artisan a des idées.

Recherche enigme

Posté par
malou Webmaster
re : Recherche enigme 26-10-21 à 18:57

effectivement
mais vu que tu n'avais pas tout dit, cela était incompréhensible
alors OK pour ta solution

Posté par
Cathybenoit
re : Recherche enigme 26-10-21 à 18:59

Je ne comprends pas la question :

Plus généralement, quel est le nombre de dalles
possibles pour recouvrir la pièce ?

Avez-vous une idée ?

Posté par
malou Webmaster
re : Recherche enigme 26-10-21 à 19:02

comme tu n'avais pas donné tout l'énoncé j'étais partie sur une toute autre idée

je ne sais pas, je n'ai pas cherché, quelqu'un d'autre va peut-être te venir en aide

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Recherche enigme 26-10-21 à 21:31

Bonjour,
La question posée n'est pas de trouver toutes les solutions, mais de trouver si c'est possible d'en trouver ou pas.
Je pense que pour 2019 il n'y en a pas.
Mais je n'en suis pas certaine.

Quelques pistes :
Pour n pair, tu peux faire comme dans ton dessin.
Par exemple, pour n = 46 :
46 = 23+22+1
On peut faire 23 petites dalles sur un des bords, puis compléter avec 22 dalles sur un autre bord perpendiculaire ; il reste alors un carré vide pour une grande dalle.

Pour 2021, on peut aussi y arriver :
On borde deux côtés parallèles avec 506 petits carrés.
Puis les deux autres côtés avec 504 petits carrés.
Ça utilise 2020 dalles. Et il reste un grand carré au centre pour une grande dalle.

Posté par
ty59847
re : Recherche enigme 26-10-21 à 23:32

Je pense qu'à part les petits nombres ... à définir, il y a toujours des solutions.
Voici par exemple une solution pour 11 :  
1er carré de A1 à C3
2ème carré , de D1 à E2
3ème carré, de D3 à E4
Puis 8 petits carrés de taille 1, pour finir le grand carré A1-E5.

Pour notre exercice avec 2019, on a une solution avec des carrés de  2 tailles différentes.
On dispose déjà 44*44=1936 carrés de même taille, pour faire un grand carré. J'appelle ce carré le grand carré jaune, pour la suite.
On doit placer encore 2019-1936=83 carrés
83=41+41+1
On divise le côté du grand carré jaune par 41.
Ca nous donne la longueur parfaite pour les côtés des 83 carrés restants.
On place 41+41 carrés, le long de 2 bords du grand carré jaune.
Et le dernier carré dans le coin laissé vide.

Plus simplement, avec la même idée.
On aligne 1008 petits carrés, puis 1007 à partir de l'un des 2 carrés finaux.
Et dans le carré laissé vide, on place 4 carrés de même taille.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Recherche enigme 27-10-21 à 07:10

Bonjour de bon matin,
La nuit m'a porté conseil
Un dessin vaut mieux qu'un long discours :
Recherche enigme

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Recherche enigme 27-10-21 à 07:21

Pas très différent de la dernière solution de ty59847 que j'illustre :
Recherche enigme

Posté par
mathafou Moderateur
re : Recherche enigme 27-10-21 à 17:07

Bonjour,

le problème est semblable à celui-ci
Quadrillage
pour lequel le demandeur n'avait pas jugé bon de poursuivre, sans doute trop difficile de recopier 5 lignes de texte...

la question est connue sous le nom de couverture de Mrs Perkin
(Mrs Perkin's quilt)

on montre que à partir d'une solution avec n carrés
on peut au moins construire une solution à n' > n carrés en redécoupant en 4 un des carrés (n' = n+3),
ou une solution en ajoutant une bordure sur deux côtés (n'= n + (2k+1))
voir ci dessus ce qui a été montré comme solutions

à partir de la découpe en 1 évidente (!!) et de proche en proche on peut ainsi obtenir tous les nombres de carrés dès que n > 5
les seules impossibilités étant 2, 3 et 5 carrés

1 bordé par 3 carrés donne la découpe en 4
1 + 5 = 1+(2*2+1) carrés donne la découpe en 6 de l'énoncé
7 = 4+(2*1+1)) = 4 + 3 (deux façons bordure ou redécoupe, donnant la même solution unique à symétrie près)
8 = 1+(2*3+1) au moins (bordure), mais aussi 5 autres solutions :

Recherche enigme

Posté par
Cathybenoit
re : Recherche enigme 28-10-21 à 13:09

Bonjour
Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Recherche enigme 28-10-21 à 13:55

De rien, et à une autre fois sur l'île \;

*Sylvieg Edit> Des messages suivants ont été déplacés vers le forum "détente"
Voir le message de 18h58*

Posté par
malou Webmaster
re : Recherche enigme 28-10-21 à 17:06

Hello
vous voulez qu'on le bascule en énigmes ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Recherche enigme 28-10-21 à 17:48

Bonjour malou
la fjn de cette discussion (qui dépasse le cadre de l'exo d'origine) avec un lien vers le début, pourquoi pas ...
mais bon ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Recherche enigme 28-10-21 à 18:42

Je vais essayer de faire quelque chose

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Recherche enigme 28-10-21 à 18:58


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1681 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !