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Niveau école ingénieur
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Recherche opérationnelle

Posté par
Mathes1
02-01-24 à 16:05

Bonjour à tous,
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•Une entreprise fabrique deux produits A et B , en utilisant une machine M et deux matières premières P1 et P2 .On dispose chaque jour de 12h de la machine M, de 13kg de la matière P1 et de 36kg de la matière P2. Supposons que:
•la production d'une unité de A nécessite 4kg de P1 et 1kg de P2 , et utilise la machine M durant 2.5h ;
•la production d'une unité de B nécessite 1kg de P1 et 5.5kg de P2 , et utilise la machine M durant 3h;
•les profits réalisés sont de 45€ par unité de A et 70€ par unité de B.
-L'objectif de l'entreprise est de maximiser le profit qu'elle pourra tirer , par jour, de ces 2 produits en utilisant au mieux ses ressources.
1) Modéliser le problème ci-dessus sous forme d'un programme linéaire
2) Tracer les contraintes et déterminer la région réalisable
3) La région réalisable comporte combien de points extrêmes?
4) la solution optimale est elle unique ?Si c'est le cas , veuillez la déterminer en utilisant la méthode graphique
5) Quelles sont les contraintes qui sont satisfaites avec une égalité stricte ?
Mes propositions ;
1)
Le tableau suivant résume les données relatives à ce problème :
Recherche opérationnelle
1)Variables de décision:
x1 =la quantité de produits A à produire
x2=la quantité de produits B à produire
2) fonction objectif ou fonction économique
Il s'agit d'additionner  les bénéfices à tirer de chacun des 2 produits :
•pour le produit A ,elle retire 45€ par unité et en fabrique x1 unités;cette production lui rapporte donc un profit de (45x1)€
•de même,la quantité x2 du produit B lui permet de faire un profit de (70x2)€.
Le profit total à tirer des deux produits s'élève donc à :
(45x1+70x2)€
Nous dénoterons ce profit total par z et laisserons implicite l'unité monétaire :
z(x1,x2)=45x1+70x2
Nous cherchons évidemment à rendre z aussi grand que possible en donnant à x1 et x2 des valeurs appropriées,nous écrivons ;
Max z=45x1+70x2
3)les contraintes
La contrainte relative à la machine M s'écrit:
2,5x1+3x2≤12
•contraintes relatives aux matières premières :
4x1+x2≤13(P1)
x1+5.5x2≤36(P2)
contraintes de positivité :x1,x2≥0
Le modèle se résume ainsi :
(PL)\begin{cases} \text{Max} z=45x_1+70x_2 \\2.5x_1 +3x_2\leq 12 \\ 4x_1+x_2\leq 13\\ x_1+5.5x_2\leq 36\\x_1,x_2\geq 0\end{cases}
2)Recherche opérationnelle
La région réalisable est hachuré
3) graphiquement la région réalisable comporte 1 seul point extrême
4) oui la solution optimale est unique ,c'est l'intersection entre D2 :4x1+x2=13 et D1:2,5x1+3x2=12 on résoudre le système et on trouve (x1*,x2*)=\left( \dfrac{54}{19},\dfrac{31}{19}\right)
La fonction économique prend la valeur :
z*=45*\dfrac{54}{19}+70*\dfrac{31}{19}=242,1
5) une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
LeHibou
re : Recherche opérationnelle 02-01-24 à 18:35

Bonjour,

Pour 3), "graphiquement" n'est pas une démonstration. Tu dois considérer les droites 45x1 + 70x2 = z, elles sont toutes parallèles, comment évoluent-elles quand z varie, à quoi correspond la position optimale ?

pour 5), pour la première contrainte, tu dois vérifier si au point optimal tu as 2,5x1+3x2 = 12 (égalité stricte) ou 2,5x1+3x2 < 12 (inégalité stricte). Et la même idée pour les autres.

Posté par
Mathes1
re : Recherche opérationnelle 02-01-24 à 19:06

Bonjour
Pour 3) la fonction objectif z=45x1+70x2 en choisit des points pour z par exemple 100 et 200 et on la trace , on constate que cette fonction objectif coupe les droite D1 indiqué sur le graph D2 et D3 donc on a une solution unique.
5) on remplace \left(x_1*,x_2*\right)=\left(\dfrac{54}{19},\dfrac{31}{19} \right)
On trouve
•2,5x1+3x2=12≤12 égalité stricte
•4x1+x2=13≤13
Égalité stricte
•x1+5.5x2=
11,81<36
Inégalité stricte
Merci beaucoup

Posté par
alb12
re : Recherche opérationnelle 02-01-24 à 20:12

salut,
je dois vraisemblablement me tromper mais il me semble mentalement que pour x1=0 et x2=4 le profit est 280.

Posté par
Mathes1
re : Recherche opérationnelle 02-01-24 à 21:04

Bonjour
Oui vous avez strictement raison !
Je rectifie donc :
3)La région réalisable comporte 3  points extrêmes .
4) solution unique.(x1*,x2)=(0,4)
z*=45*0+70*4=280
Est une solution optimale de ce problème
5) on remplace [tex]\left(x_1*,x_2*\right)=(0,4)
On trouve
•2,5*0+3*4=12≤12
égalité stricte
•4*0+4=4<13
Inégalité stricte
•0+5.5*4=22<36
Inégalité stricte
Merci beaucoup

Posté par
alb12
re : Recherche opérationnelle 02-01-24 à 22:27

J'ai trouvé une fonction Xcas qui fait le travail:

La fonction simplex_reduce effectue la réduction par l'algorithme du simplexe pour trouver :
max(c.x)     avec     A.x ≤ b, x ≥ 0, b≥ 0

où c,x sont des vecteurs de ℝn, b≥ 0 est un vecteur de ℝp et A est une matrice de p lignes et de n colonnes.

simplex_reduce a comme argument A,b,c et renvoie max(c.x), la solution augmentée de x et la matrice réduite.
Exemple
Chercher
max(X+2Y)   lorsque
(X,Y) ≥ 0
−3X +2Y ≤ 3
X +Y ≤ 4

On tape :
simplex_reduce([[-3,2],[1,1]],[3,4],[1,2])

On obtient :
7,[1,3,0,0],[[0,1,1/5,3/5,3],[1,0,(-1)/5,2/5,1], [0,0,1/5,8/5,7]]

Ce qui veut dire que le maximum de X+2Y sous ces conditions est 7, il est obtenu pour X=1,Y=3 car [1,3,0,0] est la solution augmentée et la matrice réduite est :
[[0,1,1/5,3/5,3],[1,0,(-1)/5,2/5,1], [0,0,1/5,8/5,7]].

Pour ton probleme on obtient

Posté par
Mathes1
re : Recherche opérationnelle 03-01-24 à 19:31

Bonsoir à tous
Donc est ce que c'est juste ce que j'ai fait
Merci

Posté par
alb12
re : Recherche opérationnelle 03-01-24 à 21:10

Xcas dit que le profit maximum est 280 atteint pour x1=0 et x2=4



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