Bonjour,
ton erreur est de donner le même nom à des objets différents.

On peut dire que les solutions sur R^- sont
xC cos(x) + D sin(x) - x + 1

Bonjour,

Tu as un couple (A,B) à droite, et un autre couple (A',B') à gauche qui n'a aucune raison d'être le même que (A,B).
Et attention, tu ne veux pas seulement recoller avec les dérivées, mais aussi avec les dérivées secondes car tu cherches une solution deux fois dérivable sur .

Bonjour et merci à vous deux
A la suite de vos réponses, j'ai modifié mes solutions :
y = Acos(x) + Bsin(x) + x + 1    sur R+
y = Ccos(x) + Dsin(x) - x + 1     sur R-

Pour la continuité de y j'ai donc :
lim x->0+  y = A+1
lim x->0-   y = C+1
Donc y est continue si A=C

Pour la derivabilité de y:
Supposons que A=C
lim x->0+  y' = B+1
lim x->0-   y' = D-1

Ainsi y admet une limite finie en 0 ssi D=B+2
par le Théo de la limite de la dérivée, (puisque y est continue), y est derivable et y' est continue.

Pour la derivabilité de y':
Supposons que D=B+2
lim x->0+  y'' = -A
lim x->0-   y'' = -C

Or A=C
Ainsi y admet une limite finie en 0
par le Théo de la limite de la dérivée et puisque y' est continue, y' est derivable et y'' est continue

Je me retrouve ainsi avec les solutions suivantes:
y = Acos(x) + Bsin(x) + x + 1    sur R+
y = Acos(x) + (B+2)sin(x) - x + 1     sur R-

A partir de là, est ce que je dois faire une synthèse pour vérifier les solutions?

salut

quelques remarques de rédaction : il apparait y'' donc y et y' sont non seulement continues mais aussi dérivables !!  (*)

Pumpkin3 @ 25-02-2023 à 11:51

...
Donc y est continue si implique que A = C

Pour la derivabilité de y:  
Supposons que A=C non il n'y a plus à le supposer : c'est nécessaire !!
lim x->0+  y' = B+1
lim x->0-   y' = D-1

Ainsi y  ou y' admet une limite finie en 0 ssi D=B+2
par le Théo de la limite de la dérivée, (puisque y est continue), y est derivable et y' est continue. à quoi sert cet argument sans intérêt (voir (*))

Pour la derivabilité de y':
Supposons que D=B+2 non il n'y a plus à le supposer, c'est nécessaire
lim x->0+  y'' = -A
lim x->0-   y'' = -C

Or A=C
Ainsi y ou y" admet une limite finie en 0
par le Théo de la limite de la dérivée et puisque y' est continue, y' est derivable et y'' est continue  à nouveau