Niveau BTS

Recurrence

Posté par
sami-dh 07-10-07 à 00:40

Salut
Je rencontre quelques difficultés avec un exo,le voici:
démontrer par recurrence que:
$(\forall n\in \mathbb{N})\exists(a_n;b_n)\in\ IN^2\{{(2+\sqrt3)^n=a_n+b_n\sqrt3\atop (a_n)^2-3b_n^2=1}$
Un coup de pousse?^^
Merci

Posté par klevia (invité)Enfin un exo que j'arrive à faire... 07-10-07 à 08:23

Initialisation:
pour n=1
(2+3)¹= 2+3
d'où a1=2 et b1=1 et a1²-3b1²=1

Hérédité:
tu cherches à exprimer (2+3)^(n+1) en fonction de (2+3)^n

tu trouves a(n+1) et b(n+1) en fonction de an et bn
Puis tu calcules a(n+1)²-3b(n+1)² tu trouveras 1 tout simplement...
C'est largement faisable, il suffit d'écrire
Courage à toi ...
Si tu y arrives pas, je te donnerai les détails.

Posté par re : Recurrence 07-10-07 à 16:21

Salut
Bon merci pour le coup de main
Je trouve $(2+\sqrt{3})^{n+1}=(2+\sqrt{3})^n\times(2+\sqrt{3})$
Mais j'arrive vraiment pas à exprimer $a_{n+1}\ et\ b_{n+1}$

Posté par re : Recurrence 07-10-07 à 16:56

Salut
Bon j'ai trouvé
$2a_n\sqrt3+6b_n=a{n+1}+b_{n+1}$
$donc\ a_{n+1}=2\sqrt3.a\ et\ b_{n+1}=6b_n$
C'est ça?

Posté par re : Recurrence 07-10-07 à 17:18

Salut
Oubliez ce que j'ai écris la haut ^^'
au moment ou je veux calculez a(n+1)²-3b(n+1)^3,je trouve:
$a_{n+1}^2-3b_{n+1}^2=7a_n^2+4\sqrt{3}a_n^2-21b_n^2-12\sqrt{3}b_n^2=7+4\sqrt{3}$ avec $a_{n+1}=a_n{2+\sqrt3}\ et\ b_{n+1}=2b_n+\sqrt{3}b_n$
y a t'il une faute?

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