Bonjour, définie c'est parce qu'il est facile de montrer que les u_n restent positifs et donc la racine est toujours calculable.

Bornée, suppose que U_n-1nn+2<(M²)=M et donc U_n+2 le sera aussi
Et comme U0 et U1 sont <3 par exemple, tous les Un le seront aussi.

En fait les Un font ça :

Effectivement, ils restent bien coincés entre 1 et 2 et ça tend vers 2^2/3

(Et pour le fun, je me suis amusé à regarder si on trouvait une formule explicite pour les Un, et j'ai trouvé )

Merci de votre réponse donc
Ma rédaction sera correcte si je fais
.Initialisation
.......
.Hérédité : ..... ?

Après une autre question où je bloque

Montrer que v_n=u_n+1/u_n
Exprimer v_n+1 en fonction de v_n et en déduire le terme général de vn ?
v_n+1=(u_n/u_n+1) et après je ne vois pas ?

V_n+1=u_n+2/u_n+1=(u_n+1u_n)/u_n+1=(u_n/u_n+1)=(1/v_n)

Merci, comment j'ai fait pour ne pas le voir

ensuite je dois trouver le terme général vn et je bloque de nouveau je suis désolé

Si tu réappliques la formule ça va donner Vn=(V_n-1)^-1/2=V_n-2^(-1/2)²=...=V₁^{(-1/2)^(n-1)}

Encore Merci Pour déterminer le terme général de (Un) On pose wn=ln(un)
Determiner une relation d'ordre 2 vérifiée par (wn)

j'ai penser à wn+2=ln(un+2)
puis on doit déduire le terme général de wn
et en déduire celui de un

et je bloque de nouveau ( on a pas encore fait de cours, et mes souvenir de terminal son lointain !)

V₁ tu parles du premier terme ?

oui ou bien mets V0 ça sera encore plus simple. V0=u1/u0=2
donc Vn=2^{(-1/2)^n}

Et donc U_n+1=2^{(-1/2)^n} U_n et donc w_n+1=w_n+(-1/2)ⁿln2 si on prend le log

cela veut dire que pour wn on prend à chaque fois le terme précédent et on y ajoute (-1/2)ⁿln(2)

oui donc un coup on ajoute -(1/2)ln2 et un coup on ajoute (1/2)ln2 donc les wn ne font qu'osciller entre deux valeurs.

or wn=ln(un)
u0=1 donc w0=0
donc wn=(-1/2)^nln2 ?

si on fait n=0 dans ta formule, on trouve ln2 et pas w0=0 non ?

d'ailleurs je n'arrive pas a trouver l'expression générale

j'ai dit une bêtise quand j'ai dit que wn oscillait entre deux valeurs,(-1/2)ⁿln(2) n'est pas constant
Ca va être un peu plus compliqué pour trouver wn. Il faut écrire :
w_n=w_n-1+(-1/2)^(n-1)ln2
w_n-1=w_n-2+(-1/2)^(n-2)ln2
------
w₁=0+ln2

et ajouter toutes ces équations membre à membre, les w se simplifient sauf le premier et le dernier
w_n=ln2 [(-1/2)⁰+(-1/2)+...+(-1/2)^n-1) et ça c'est une suite géométrique de raison (-1/2) donc tu peux calculer la somme en appliquant 1+a+..+aⁿ=(1-aⁿ⁺¹)/(1-a)

Lorsque que l'on aura le terme général de wn il faudra faire exp(wn)=un c'est ça ?

oui

je comprends pas pourquoi il faut utiliser une somme pour déterminer wn ?

si j'ai compris donc la somme est égal à 1-(-1/2)ⁿ
il y pas n termes car ca va de 0 à n-1 et vous avez mis n+1 dans la somme
est ce que je me trompe ?

C'est comme ça. C'est un procédé classique chaque fois que l'on est devant un truc genre w_n=w_n-1+ ...
ça revient à poser t_n=w_n-w_n-1 et à remarquer que c'est une suite géométrique et calculer la somme de ses termes.

la somme j'ai oublié de mettre /(2/3)
donc

wn=ln(2)*(2/3-(2/3)(-1/2)ⁿ

or exp(wn) = un
donc
un = 2^{(2/3)(1-(-1/2)[sup]n}[/sup])

je ne sais pas, ça n'est pas très lisible ce que tu écris et il manque des parenthèses. je ne peux pas te dire si c'est juste.

(1-aⁿ⁺¹)/(1-a) ca serait pas plutôt(1-aⁿ)/(1-a) ? car on va de 0 à n-1
donc après la somme vaut 2/3(1-(-1/2)ⁿ) ?
donc wn=ln(2)*2/3(1-(-1/2)ⁿ)

or exp(wn)=un un= 2^{2/3(1-(-1/2)[sup]n})[/sup]

oui ça a l'air d'être la même chose que la formule que je t'avais données à mon premier post, donc ça devrait être bon.

après il faut montrer que un=(de K=0 à n-1)2^{(-1/2)^k}

utilise 2^a.2^b=2^a+b pour transformer ton produit en 2 puissance une somme
tu vas retrouver la somme des termes de la suite géométrique de tout à l'heure en exposant.

l'exposant et sur le -1/2, je ne comprends pas ce que vous voulez dire ?

Un grand merci pour votre aide