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Récurrence

Posté par Profil Ramanujan 21-06-18 à 19:58

Bonsoir,

Soit P une propriété. Soit n \in N^*

Je comprends le passage :

P(1) est vraie et \forall m \in [|1,n-1|], P(m) \Longrightarrow  P(m+1)

On en déduit : \forall m \in [|1,n|], P(m)

Moi j'aurais dit :

On en déduit : \forall m \in [|1,n-1|], P(m)

Posté par
verdurinre : Récurrence 21-06-18 à 20:03

Bonsoir,
il faut voir que n-1+1=n.

Posté par
carpediemre : Récurrence 21-06-18 à 20:16

salut

Citation :
Je comprends le passage :
donc si tu comprends alors il n'y a pas de pb ....

sais-tu ce qu'est (la définition du) le raisonnement par récurrence ?

Posté par Profil Ramanujanre : Récurrence 21-06-18 à 20:23

Oui je connais bien le raisonnement par récurrence mais ce cas est spécial je ne comprends pas.

Posté par Profil Ramanujanre : Récurrence 21-06-18 à 20:26

verdurin @ 21-06-2018 à 20:03

Bonsoir,
il faut voir que n-1+1=n.


Une chose me bloque on montre \forall m \in [|0,n|] : P(m+1)

Donc on a montré :  \forall m \in [|0,n-1|] : P(m)

La logique fait qu'on devrait avoir n-1 et pas n je comprends pas.

Posté par Profil Ramanujanre : Récurrence 21-06-18 à 20:52

Je mélange tout entre n et m.
Cette récurrence me perturbe.

Posté par
mousse42re : Récurrence 21-06-18 à 21:04

Salut,

P(1) est vraie et \forall m \in [|1,n-1|], P(m) \Longrightarrow  P(m+1)

Ainsi, P(1)\implies P(2)\cdots P(n-2)\implies P(n-1)\implies P(n)

Donc pour tout m\in [\! [1,n]\!], P(m)

Posté par Profil Ramanujanre : Récurrence 21-06-18 à 21:58

@Mousse
J'ai pas compris votre raisonnement, c'est pas du tout ce qui a écrit dans le cours sur la récurrence. Je vous remets les détails de l'exercice :

Soit n \in N^*
Démontrer que \forall m \in [|1,n|] \ (1+\frac{1}{n})^m < 1+\frac{m}{n}+(\frac{m}{n})^2

La correction du livre :

Lorsque m=1 on a P(1)
Si n=1 alors la question est terminée. Supposons désormais n \geq 2
On montre que : (je mets pas les détails du calcul c'est pas ce qui me pose problème)
(1+\frac{1}{n})^{m+1} < 1 + \frac{m+1}{n} +\frac{(m+1)^2}{n^2}  

Ce qui est P(m+1)

On a montré P(1) et (\forall m \in [|1,n-1|] , P(m) \Longrightarrow  P(m+1))

On en déduit (c'est ce passage ici que je comprends pas j'aurais mis n-1)
\forall m \in [|1,n|], P(m)

Posté par
mousse42re : Récurrence 21-06-18 à 22:10

si tu as monntré que  (\forall m \in [|1,n-1|] , P(m) \Longrightarrow  P(m+1))

Puisque c'est vraie pour tous les m dans [\![1,n-1]\!] c'est vraie pour m = n-1 donc tu remplaces m par n-1 et ça te donne P(n-1)\implies P(n)

Posté par Profil Ramanujanre : Récurrence 21-06-18 à 22:10

mousse42 @ 21-06-2018 à 22:10

si tu as monntré que  (\forall m \in [|1,n-1|] , P(m) \Longrightarrow  P(m+1))

Puisque c'est vraie pour tous les m dans [\![1,n-1]\!] c'est vraie pour m = n-1 donc tu remplaces m par n-1 et ça te donne P(n-1)\implies P(n)


Merci j'avais pensé à ça mais j'étais pas sûr

Posté par Profil Ramanujanre : Récurrence 21-06-18 à 22:13

Mais y a un truc bizarre Mousse.
Dans mon cours que je viens de lire on montre :

P(n) \rightarrow P(n+1) implique en conclusion qu'on a P(n)

Vous dites que ça implique aussi P(n+1)

Le cours ne dit pas ça.

Posté par
verdurinre : Récurrence 21-06-18 à 22:23

Si
\forall n\in \N\quad P(n)
alors
\forall n\in \N\quad P(n+1)

Posté par
mousse42re : Récurrence 21-06-18 à 22:27

tu t'emmêles les pinceaux... attention aux m et n

Posté par
mousse42re : Récurrence 21-06-18 à 22:34

on suppose que n=5

(\forall m \in [|1,n-1|] , P(m) \Longrightarrow  P(m+1)) devient

(\forall m \in [|1,4|] , P(m) \Longrightarrow  P(m+1))

ainsi P(4)\implies P(5) est vraie
\\ P(1)\implies P(2)\implies P(3)\implies P(4)\implies P(5) cette succession d'implication est vraie.

Puisque P(1) est vraie (initialisation), donc P(2) est vraie, donc P(3)....donc P(5)

Voilà, je ne peux pas faire mieux ....

Posté par Profil Ramanujanre : Récurrence 21-06-18 à 22:35

En utilisant vos indications :

\forall m \in [|1,n-1|] , P(m) est équivalent à

\forall m+1 \in [|1,n|] , P(m+1)

Je pose m' = m+1 j'obtiens :

\forall m' \in [|1,n|] , P(m')

C'est correct ?

Posté par
mousse42re : Récurrence 21-06-18 à 22:50

C'est une plaisanterie...?

La conclusion est :  \forall m \in [|1,n|], P(m)

Je fais une dernière tentative sur ce sujet :

Si le n te pose un problème renomme cette variable, et utilise N à la place

(\forall n \in [|1,N-1|] , P(n) \Longrightarrow  P(n+1))

Donc P(1)\implies P(2)\implies \cdots\implies  P(N-1)\implies P(N)

Puisque P(1) est vraie (initialisation),on déduit que P(2) est vraie et ainsi de suite jusqu'à P(N) qui est vraie aussi.

Et on conclut que pour tout n\in[|1,N|], P(n) est vraie

Posté par Profil Ramanujanre : Récurrence 21-06-18 à 22:59

J'ai compris !

Mais mettre des implications à la chaine on peut pas écrire ?

P(1),...,P(N-1) \Rightarrow P(N)

Posté par
mousse42re : Récurrence 21-06-18 à 23:01

je ne comprends pas ta question

Posté par Profil Ramanujanre : Récurrence 21-06-18 à 23:02

Je me demandais pourquoi vous mettez des implications au lieu de mettre juste qu'on a P(1) jusqu'à P(N-1) vrai.

Posté par
mousse42re : Récurrence 21-06-18 à 23:18

Supposons que l'on n'ait pas effectué l'étape d'initialisation

montrer l'hérédité ci-dessous :

(\forall n \in [|1,N-1|] , P(n) \Longrightarrow  P(n+1))

c'est équivalent à

P(1)\implies P(2)\implies \cdots\implies  P(N-1)\implies P(N)

Mais on ne sait rien sur P(1), \cdots , P(N) pour le moment.

L'étape d'initialisation nous donne P(1) vraie, de la première implication, on déduit P(2) vraie, de la seconde P(3) et ainsi de suite jusqu'à P(N)

Posté par Profil Ramanujanre : Récurrence 21-06-18 à 23:25

Ah ça y est j'ai compris ! merci


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