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récurrence

Posté par
margotgesvret
09-10-21 à 12:29

Bonjour,
Je suis bloqué sur un exercice de récurrence à l'hérédité.
Qn:"10puissancen-1 est un multiple de 9"
initialisation:
D'une part Q0:0
D'autre part 10puissance0-1=0
Donc Q0=10puissance0-1
La propriété est vraie au rang 0
Hérédité:
Supposons que pour tout entier naturel n quelconque Qn=10puissancen-1 est divisible par 9
On sait qu'il existe un entier naturel k tel que: 10puissancen-1=9k
Après je ne comprends pas j'ai factorisé Qn+1, je n'arrive pas à montrer que 10puissancen+1-1=9(10k+1)
Je ne sais pas si c'est claire , mais merci d'avance pour l'aide.

Posté par
carpediem
re : récurrence 09-10-21 à 12:41

salut

ça ne veut strictement rien dire !! (en particulier toute la partie initialisation)

Q(n) est le nom donné à une proposition

ensuite il serait bien d'apprendre à utiliser les symboles mathématiques pour écrire des formules lisibles !!!
par exemple simplement comment écris-tu une puissance sur une calculatrice ?

Posté par
margotgesvret
re : récurrence 09-10-21 à 13:49

Pour l'écriture d'une puissance c'est 10en ?

Q(n)="10en-1 est un multiple de 9"
Initialisation :
Pour n=0
D'une part Q(0)=10e0-1
D'autre part 10e0-1=0
Donc Q(0)=10e0-1
La propriété est vrai au rang 0

Posté par
carpediem
re : récurrence 09-10-21 à 13:54

10^n tout simplement ...

10^0 - 1 = 9 et 9 divise 9 donc Q(0) est vraie

Posté par
margotgesvret
re : récurrence 09-10-21 à 18:29

ok merci
Hérédité :
suppose que Q(n)=10^n-1 est un multiple de 9
Montrons que Q^n+1=10^n+1-1 divisible par 9
On sait que Q(n)=10^n+1-1 est un multiple de 9, Q(0)=0 et Q^n+1= 10^n+1-1 divisible par 9
Donc Q(n+1)=10(10^n-1/10)
Q(n)=10^n-1=9k
Q(n)+1=10^n
9k+1=10^n

Q(n+1)=9Q(n)
               = 10*10^n-1
               = 10(9k+1)-1
               = 90k+9=9(10k+1)

Posté par
carpediem
re : récurrence 09-10-21 à 18:39

margotgesvret @ 09-10-2021 à 18:29


suppose que Q(n)=10^n-1 est un multiple de 9
Montrons que Q^n+1=10^n+1-1 divisible par 9
On sait que Q(n)=10^n+1-1 est un multiple de 9, Q(0)=0 et Q^n+1= 10^n+1-1 divisible par 9
Donc Q(n+1)=10(10^n-1/10)
Q(n)=10^n-1=9k
Q(n)+1=10^n
9k+1=10^n


Q(n+1)=9Q(n)
               =
10*10^n-1
               = 10(9k+1)-1
               = 90k+9=9(10k+1)
tout ce qui est en rouge est du charabia ... comme je te l'ai dit à 12h41 ...

Posté par
margotgesvret
re : récurrence 09-10-21 à 18:49

Es que vous pouvez me dire comment vous vous auriez formulé l'hérédité svp ?

Posté par
malou Webmaster
re : récurrence 09-10-21 à 18:52

Bonsoir
margotgesvret regarde un peu cette fiche Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
tu y trouveras des exemples rédigés

Posté par
carpediem
re : récurrence 09-10-21 à 19:00

oui et éventuellement après je te recorrigerai ...

Posté par
margotgesvret
re : récurrence 09-10-21 à 20:33

Montrons par récurrence que pour tout n ∈ N : " 10^n-1 est un multiple de 9"
Notons pour cela Q(n):10^n-1
Initialisation :
Pour n=0 : 10^0-0=0
Donc la proposition Q(0) est vraie

Hérédité : Soit k un entier naturel
Supposons que Q(n): "10^n-1 est un multiple de 9" est vrai et montrons que Q(n+1) est vrai
Donc Q(n+1)=10^n+1-1
Montrons que Q(n+1)= 10^n+1 à partie de Q(n)=10^n-1
On sait que Q(n)=10^n-1 est divisible par 9 donc 10^n-1=9k
Donc 10^n+1-1=10^n+1+9
10^n+1-1=10(10^n-1)+9
10^n+1-1=10*9k+9
10^n+1-1=9k(10k+1)
Donc 10^n+1-1 est divisible par 9

Posté par
carpediem
re : récurrence 09-10-21 à 20:56

margotgesvret @ 09-10-2021 à 20:33

Montrons par récurrence que pour tout n ∈ N : " 10^n-1 est un multiple de 9"
Notons pour cela Q(n):10^n-1  non ça ne va pas !! pose par exemple u_n = 10^n - 1
Initialisation :
Pour n=0 : 10^0-0=0 à revoir
Donc la proposition Q(0) est vraie

Hérédité : Soit k un entier naturel inutile d'introduire k ici ... mais quand tu en auras besoin !!
Supposons que Q(n): "10^n-1 est un multiple de 9" est vraie et montrons que Q(n+1) est vraie
Donc Q(n+1)=10^n+1-1 ça ne va toujours pas
Montrons que Q(n+1)= 10^n+1 à partie de Q(n)=10^n-1
On sait que Q(n)=10^n-1 est divisible par 9 donc 10^n-1=9k
Donc 10^n+1-1=10^n+1+9 pourquoi ? (égalité non montrée)
10^n+1-1=10(10^n-1)+9
10^n+1-1=10*9k+9
10^n+1-1=9k(10k+1) faux
Donc 10^n+1-1 est divisible par 9



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