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Récurrence

Posté par
foq 10-11-21 à 20:52

Bonjour Madame et Monsieur

J'ai un exercice non noté juste pour m'entrainè  .

Démonter par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :

17 divise  52n-23n

Moi j'ai fait ça mais je bloc .

Initialisation : D'une par 0=0
         D'autre part U0= 52*0-23*0
                                                                      =0
Donc la propriété est vrai au rang 0 car 0 est divisible par 17

Hérédité : : On suppose pour un entier n fixé , 52n-23n est un multiple de 17 ( 52n-23n=17k) .   Montrons que 52n+2-23n+3  est un multiple de 17 .

52n+2-23n+3

5^{2n}*5^2-2^{3n}+2^3 \\\\ 5^{2n}*25-2^{3n}+8 \\\\ 5^{2n}*(17+8)-2^{3n}+8 \\\\ 5^{2n}*17 +5^{2n}*8 -2^{3n}+8

Merci de votre aide .

Posté par
flightre : Récurrence 10-11-21 à 21:00

salut

ça prend à peine 4 lignes   , pour l'initialisation de base je te laisse faire pour la suite   si tu multiplie membre à membre par  5² tu devrais avoir pleins de choses qui apparaissent  

5².(52n - 23n)=5.17.Q

Posté par
foqre : Récurrence 10-11-21 à 21:18

flight @ 10-11-2021 à 21:00

salut

ça prend à peine 4 lignes   , pour l'initialisation de base je te laisse faire pour la suite   si tu multiplie membre à membre par  5² tu devrais avoir pleins de choses qui apparaissent  

5².(52n - 23n)=5.17.Q


J'ai pas compris votre  .

Je me suis trompé

5^{2n}*5^2-2^{3n}*2^3%20\\\\%205^{2n}*25-2^{3n}*8%20\\\\%205^{2n}*(17+8)-2^{3n}*8%20\\\\%205^{2n}*17%20+5^{2n}*8%20-2^{3n}*8 \\\\ %205^{2n}*17%20+ 8(5^{2n} -2{3n} ) \\\\ %205^{2n}*17%20+8*17k

Posté par
foqre : Récurrence 10-11-21 à 21:22

J'ai pas compris votre aide  .

Mer de votre intervention .

Posté par
flightre : Récurrence 10-11-21 à 23:11

5².52n = 52n+2 =52(n+1)

Posté par
carpediemre : Récurrence 11-11-21 à 10:10

salut

ben tu as quasiment fini à 21h18 : il suffit de factoriser par 17 ...

Posté par
foqre : Récurrence 11-11-21 à 11:11

Bonjour @carpediem et @flignt

Ça me fait :  17(52n+8+k)

Posté par
carpediemre : Récurrence 11-11-21 à 11:35

oui et alors ? conclusion ?

et à 21h18 il serait bien de mettre des = ...

Posté par
foqre : Récurrence 11-11-21 à 11:45

Excusez moi pour les = que je n'ai pas mis à 21 h 18 .

Alors (52n+8+k) est un multiple de 17 .

Suite de la récurrence :

Conclusion:  D'après le principe de récurrence : pour tout entier naturel n, 17 divise 52n-23n.

Merci de votre aide .

Posté par
foqre : Récurrence 11-11-21 à 11:46

Alors (52n+8+k) est un multiple de 17 .

Posté par
carpediemre : Récurrence 11-11-21 à 12:18

ok!

pour l'initialisation (et généralement il faut être concis)

5^{2 \times 0} - 3^{3 \times 0} = 1 - 1 = 0 = 0 \times 17

donc ...

Posté par
foqre : Récurrence 11-11-21 à 12:24


D'une part 0=0
D'autre par  5^{2%20\times%200}%20-%203^{3%20\times%200}%20=%201%20-%201%20=%200%20=%200%20\times%2017


0 est divisible par 17 car 0 est divisible par tout les réels  .

Donc, la propriété est vrais au rang 0 .  

Posté par
carpediemre : Récurrence 11-11-21 à 12:27

quel est l'intérêt de la première ligne ?

Posté par
foqre : Récurrence 11-11-21 à 12:31

Je ne sais pas , Ça ne sers a rien  . Mais si je ne met pas ça il y aura pas " d'une part" et je peux le remplacer par quoi .  Monsieur

Posté par
carpediemre : Récurrence 11-11-21 à 12:40

carpediem @ 11-11-2021 à 12:18

pour l'initialisation (et plus généralement il faut (apprendre à) être concis)

5^{2 \times 0} - 3^{3 \times 0} = 1 - 1 = 0 = 0 \times 17

donc ... (conclure en français)
epictou !!!

Posté par
foqre : Récurrence 11-11-21 à 12:52

Je n ai pas compris votre réponse .


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