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récurrence

Posté par
Tiantio 21-01-23 à 21:00

Bonsoir à tous

Exo : soient a_1, ...,a_n \in \mathbb{R}_+, montrer :
a_1...a_n=(\frac{a_1+...+a_n}{n})^n \Rightarrow a_1=...=a_n

j'ai procédé par récurrence, j'ai des difficultés à montrer l'hérédité

Merci pour vos suggestions

Posté par
Sylvieg Moderateurre : récurrence 22-01-23 à 08:16

Bonjour,
Sans récurrence, on peut poser m = \dfrac{a_1+...+a_n}{n}
et d_{i} = a_{i} - m.
Transformer ensuite a_1...a_n - m^n.

Posté par
Tiantiore : récurrence 22-01-23 à 14:01

En reprenant votre idée, voici ce que j'aie fait :

a_1...a_n-m^n=(d_1+m)...(d_n+m)-m^n=0
Ceci est vrai que si : d_1=...=d_n=0 et donc a_1=...=a_n

Je ne sais pas si c'est correct
merci pour votre réponse

Posté par
Ulmierere : récurrence 22-01-23 à 14:41

Il faut expliquer pourquoi cela implique d_1 = \cdots = d_n = 0

Posté par
Tiantiore : récurrence 22-01-23 à 14:58

j'ai pas d'argument là-dessus mais j'ai pris n=2 et je trouve
(a_1-d_1)^2=a_1a_2 qui est vrai que si d_1=0 et a_1=a_2

Posté par
Ulmierere : récurrence 22-01-23 à 15:17

Si tu prends n = 2, ça fait (d_1+m)(d_2+m) = m^2, ce qui en développant donnera d_1d_2 + m(d_1+d_2) = 0.

Pourquoi ça implique d_1 = d_2 = 0 ?

Comment généraliser ce raisonnement à n facteurs ?

Posté par
Tiantiore : récurrence 26-01-23 à 08:11

après j'ai remplacé d_i par a_i-m

pour n=3, je trouve d_1d_2d_3+m^2(d_1+d_2+d_3)+m(d_1d_2+d_1d_3+d_2d_3)=0

de façon générale : d_1...d_n+m^{n-1}(d_1+...+d_n)+m^{n-2}(d_1d_2+d_1d_2+...+d_1d_n+d_2d_3+d_2d_4+...+d_2d_n+...+d_{n-1}d_n+m^{n-3}(d_1d_2d_3+d_1d_2d_4+...)+... = 0)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : récurrence 26-01-23 à 11:40

Bonjour,
Je ne retrouve pas ce que j'avais en tête
Peut-être un raisonnement faux.
Je ne suis pas très disponible.
Ulmiere passera peut-être et sera plus inspiré que moi ?

Posté par
jandri Correcteurre : récurrence 26-01-23 à 12:06

Bonjour,

Sylvieg a parfaitement raison, on n'a pas besoin de récurrence mais il faut utiliser la fonction logarithme.

Avec les notations de Sylvieg l'égalité de départ se réécrit \prod_{i=1}^n\left(1+\dfrac {d_i}m\right)=1 d'où \sum_{i=1}^n\ln\left(1+\dfrac {d_i}m\right)=0.

Il suffit alors de démontrer puis utiliser le lemme : \ln(1+x)\leq x avec égalité si et seulement si x=0.

Posté par
Ulmierere : récurrence 26-01-23 à 12:20

Par exemple pour m = 3, tu peux encore simplifier le d_1 + d_2 + d_3, qui est nul !

J'avais pour ma part une autre idée : on cherche le cas d'égalité de l'inégalité arithmético-géométrique, qui n'est elle-même rien d'autre que l'expression de la concavité du logarithme (en faisant attention au fait de ne prendre que des a_i strictement positifs. De toute façon si l'un des a_i vérifiant l'égalité était nul, leur produit serait nul, donc leur somme aussi et donc ils seraient tous nuls parce qu'une somme de réels positifs nulle a tous ses termes nuls).

Comme la concavité du log est stricte, l'égalité entre f(\sum a_i/n) et \sum 1/n f(a_i) n'a jamais lieu et donc a_i = 0,  \forall i est la seule possibilité pour le cas d'égalité.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : récurrence 26-01-23 à 18:15

Pour compenser mon erreur d'aiguillage, je vais détailler deux choses :
1) Le cas où un des ai est nul.
Ce qui permettra ensuite de supposer tous les ai strictement positifs avant d'utiliser leur logarithme
2) L'adaptation au cas n = 3 de la démonstration de jandri, que je salue.
En y utilisant le lemme suivant :
Pour tout x non nul de ]-1; +[, on a ln(1+x) < x.
Ou plutôt cette conséquence :
Pour tout x strictement positif, on a ln(x) x-1.
Pour tout x différent de 1 et strictement positif, on a ln(x) < x-1.

1) Si a_1...a_n=(\dfrac{a_1+...+a_n}{n})^n et ai = 0
alors 0 = a_1+...+a_n.
La somme de réels positifs ou nuls ne peut être égale à 0 que si tous les réels sont nuls.
Donc a1 = a2 = ... = an = 0.

2) a_1 > 0, a_1 > 0, a_3 > 0 .
On suppose \; a_1\times a_2\times a_3 = (\dfrac{a_1+a_2+a_3} {3})^3, égalité notée (1).
Avec m = \dfrac{a_1+a_2+a_3} {3}, on a
(1) \Leftrightarrow a_1\times a_2\times a_3 = m^3 \Leftrightarrow \dfrac{a_1} {m} \times \dfrac{a_2} {m} \times \dfrac{a_3} {m} = 1.

D'où \; ln\dfrac{a_1} {m} + ln\dfrac{a_2} {m} +ln\dfrac{a_3} {m}= 0
D'après la conséquence du lemme, si l'un des réels a_1, a_1, a_3 n'est pas égal à m, on a

\; ln\dfrac{a_1} {m} + ln\dfrac{a_2} {m} +ln\dfrac{a_3} {m} < \dfrac{a_1} {m} -1 + \dfrac{a_2} {m} -1 + \dfrac{a_3} {m} - 1 .

Or \dfrac{a_1} {m} -1 + \dfrac{a_2} {m} -1 + \dfrac{a_3} {m} - 1 = 0 .
Donc les réels a_1, a_1, a_3 sont tous égaux à m.

Posté par
Tiantiore : récurrence 27-01-23 à 21:28

Bonsoir à tous

J'ai compris tout grâce à vos explications, je vous remercie

j'ai du mal à trouver \prod_{i=1}^{n}({1+\frac{d_i}{m}})=1
ça me ferait plaisir si vous détaillez un peu, merci pour vos réponses

Posté par
Sylvieg Moderateurre : récurrence 28-01-23 à 08:21

Tu généralises à n quelconque ce que j'ai écrit pour n = 3 :

Citation :
On suppose \; a_1\times a_2\times a_3 = (\dfrac{a_1+a_2+a_3} {3})^3, égalité notée (1).
Avec m = \dfrac{a_1+a_2+a_3} {3}, on a
(1) \Leftrightarrow a_1\times a_2\times a_3 = m^3 \Leftrightarrow \dfrac{a_1} {m} \times \dfrac{a_2} {m} \times \dfrac{a_3} {m} = 1.

Posté par
Tiantiore : récurrence 28-01-23 à 15:22

j'ai tout compris, merci pour toutes vos réponses

Posté par
Sylvieg Moderateurre : récurrence 28-01-23 à 20:37

De rien, et à une autre fois sur l'île \;


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