Bonjour,
Pourriez-vous me dire si la solution que j'ai apportée au problème ci-dessous est correcte ? En vous remerciant.


Soient et des entiers naturels non nuls. On suppose que = . Prouver qu'il est possible de supprimer certains termes (mais pas tous) de part et d'autre de l'égalité   = tout en conservant l'inégalité

On suppose que l'on peut supprimer un certain nombre de termes.On remarque que , donc et l'on note , une somme d'éléments x ou y strictement inférieure aux deux sommes précédentes. On pose . On note ;L'idée est que l'on va raisonner avec et en déduire par récurrence l'inégalité que l'on veut montrer

Initialisation : Pour , on a ou , soit ou qui sont les seuls cas possibles.

Hérédité : On suppose vrai. Sans perdre en généralité on note et , avec , auquel cas l'inégalité suit immédiatement.

, comme , on conclut que est héréditaire, puisque tous les termes que l'on peut prendre vérifient l'inégalité en vue de la condition que l'on a posée sur m et n, ainsi qu'en utilisant l'hypothèse de récurrence qui nous assurent que l'on peut considérer des différences plus grandes, d'où la maximalité de m et n.

Conclusion : D'après le principe de récurrence, l'inégalité est vraie, pour tout entier naturel m,n