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Niveau Maths sup
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récurrence

Posté par exilim (invité) 03-10-06 à 21:44

comment démonter par récurrence de manière rigoureuse que (|z1+z2+...+zn|=|z1|+|z2|+....+|zn|)équivalent à (z1,z2,...zn ont même argument à 2Pi près)????

Je sens qu'il y a de l'inégalité triangulaire avec tous les complexes qui doivent être positivement liés, mais je ne vois pas vraiment comment le démonter rigoureusement...

Posté par
kaiser Moderateur
re : récurrence 03-10-06 à 21:50

Tout d'abord, bonsoir

Déjà, le résultat est vrai pour n=2.
On suppose le résultat vrai au rang n et on le montre au rang n+1.

Il suffit alors d'utiliser l'inégalité triangulaire 2 fois de suite.

\Large{\|\bigsum_{k=1}^{n+1}z_{k}\|\leq \|\bigsum_{k=1}^{n}z_{k}\|+|z_{n+1}|\leq \bigsum_{k=1}^{n+1}|z_{k}|}.

De là, on peut conclure.

Kaiser

Posté par exilim (invité)re : récurrence 03-10-06 à 21:52

je te remercie de ton aide Kaiser, mais ceci ne démontre pas que les zn ont le même argument ....

Posté par
kaiser Moderateur
re : récurrence 03-10-06 à 21:56

Je n'ai pas dit que c'était fini.
Dans la double inégalité, que peut-on dire des termes de droite et de gauche ?

Kaiser

Posté par exilim (invité)re : récurrence 03-10-06 à 21:59

ah oui ! si je ne m'abuse, il faut montrer qu'il y a égalité ssi les deux termes sont positviement liés, on en déduirait donc qu'ils doivent avoir même argument
... mais je ne connais la formule qu'avec 2 terme et non n

Posté par
kaiser Moderateur
re : récurrence 03-10-06 à 22:02

Quelle formule ?

Posté par exilim (invité)re : récurrence 03-10-06 à 22:03

z1 et z2 sont positivement liés signifie que z1=k*z2, mais avec n termes, je ne vois pas comment m'en sortir

Posté par
kaiser Moderateur
re : récurrence 03-10-06 à 22:06

La récurrence repose sur le raisonnement suivant :

C'est vrai pour un certain entier \Large{n_{0}} (ici il vaut 2).
Ensuite on montre que si c'est vrai pour n, alors c'est vrai pour n+1.
On en déduit alors que c'est vrai pour tout n.

ici, on ne fait donc que supposer que c'est vrai pour n et on essaie de montrer que c'est vrai pour n+1.

Kaiser

Posté par exilim (invité)re : récurrence 03-10-06 à 22:09

je suis perdu la !
je suis d'accord avec toi pour montrer que le module de la somme est plus petit que la somme des modules, masi ça ne montre pas que l'égalité entraine l'égalité des arguments des zn

Posté par
kaiser Moderateur
re : récurrence 03-10-06 à 22:15

Au rang n+1, on veut montrer l'équivalence entre \Large{\|\bigsum_{k=1}^{n+1}z_{k}\|=\bigsum_{k=1}^{n+1}|z_{k}|} et le fait que ces complexes sont positivement liés.

Si ces complexes sont positivement liés, alors l'égalité est immédiate.
Réciproquement, supposons que cette égalité est vérifiée. On veut montrer alors que ces complexes sont positivement liés. C'est la que se sert de la double inégalité de mon message de 21h50 (les termes de gauche et de droite sont alors égaux).

Kaiser

Posté par exilim (invité)re : récurrence 03-10-06 à 22:19

je ne voudrais pas apparaitre rabat-joie, mais j'ai beua la retourner dans tous les sens, je ne vois pas en quoi ton inégalité de 21h50 montre queles termes sont positivement liés ...

Posté par
kaiser Moderateur
re : récurrence 03-10-06 à 22:23

Je n'ai pas dit ça.
Tu est bien d'accord que les termes de droite et de gauche sont égaux, donc il sont égaux au terme qui se trouve au milieu.
Es-tu d'accord avec moi ?

Kaiser

Posté par exilim (invité)re : récurrence 03-10-06 à 22:23

oui pour l'instant je suis d'accord

Posté par
kaiser Moderateur
re : récurrence 03-10-06 à 22:25

En particulier le terme de droite et du milieu sont égaux.
Là, normalement, tu devrais pouvoir utiliser l'hypothèse de récurrence.

Kaiser

Posté par exilim (invité)re : récurrence 03-10-06 à 22:35

Je te remerci Kaiser, je crois que j'ai à peu près compris ! je vais devoir pouvoir m'en sortir mais pas ce soir !

je vous souhaite une bonne nuit ..

Posté par
kaiser Moderateur
re : récurrence 03-10-06 à 22:36

Mais je t'en prie !
Bonne nuit à toi aussi !



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