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Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf

Posté par
neon29
01-12-10 à 16:40

Salut à tous ;

On vient de se remettre à l'algèbre linéaire et déjà un exo tordu

Soit E un ev et f L(E). On note la composée k-ièmef^k = f o f o..o f o f k fois.

1)Montrer que:
       --> {OE} Kerf Kerf² ... Kerfn ...
      ---> ... Imfn Imfn-1... Imf Im Id =E

2) Montrer que: (Kerfn+1 = Kerfn)( j0, Kerfn+j = Kerfn)

3) Montrer que: (Imfn+1 = Imfn)( j0, Imfn+j =Imfn)


Alors:

1) {OE} Kerf est évident car Kerf est un sev de E. Pour les inclusions suivantes je pensais procéder par récurrence:

L'initialisation on l'a avec ce que je viens d'écrire et pour l'hérédité je suppose que c'est vraie au rang n et je montre que çà l'est également au rang n+1. Mais bon je suis pas certain du tout...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 16:50

Bonjour

Oui, bien sur que c'est par récurrence! Tu peux commencer par prouver (et éventuellement l'apprendre par coeur) que si f et g sont des endomorphismes linéaires

Ker(g)\subset Ker(f\ o \ g) et Im(f\ o\ g)\subset Im(f)

Posté par
MatheuxMatou
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 16:51

bonjour

oui, mais bon !
on a f(0)=0... donc il est assez évident que si fn(x)=0 alors fn+1(x)=f(fn(x))=0
et donc que ker(fn)ker(fn+1)

Posté par
MatheuxMatou
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 16:52

(Caramba, encore raté !)
(bonsoir Camélia)

Posté par
MatheuxMatou
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 16:53

ben personnellement je ne vois pas de récurrence là-dedans !
ce que j'ai écrit au-dessus est valable pour tout n0 avec la convention f0=Id, ce qui établit la chaîne d'inclusions

Posté par
Camélia Correcteur
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 17:00

Bonjour MatheuxMatou tu as raison, ce que j'ai écrit avec f et g marche directement sans récurrence!

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 17:37

Du coup pas besoin de récurrence? Pour rédiger à proprement j'écris:

{OE} Kerf car kerf sev de E
Supposons que c'est vrai au rang n:

Soit x kerfn alors fn+1(x) = f(fn(x)=f(O) =0 car f linéaire donc x kerfn+1.

Pour la suite: Im f E car f est linéaire et, en supposant que c'est valable au rang n, alors fn+1(x) = f(fn(x) or Imfn E et f(E) E.

Correct?

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 17:57

2) montrer que (Kerfn+1 = kerfn) (j0, Kerfn+j = kerfn)

D'après 1) l'inclusion = kerfn Kerfn+j est évidente.

Pour l'inclusion dans l'autre sens je bloque

Posté par
apaugam
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 18:26

commence la récurrence pour comprendre
si Ker f^n=Kerf^{n+1} essaye de montrer qu'un x de Kerf^{n+2} est dans Kerf^{n+1}

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 18:31

Bah çà a été démontré à la première question

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 19:35

En fait je vois pas comment utiliser l'hypothèse

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 21:24

Kerfn Kerfn+j car c'est ce que l'on a démontré en 1) non?

Mais comment montrer que (Kerfn+1=Kerfn) Kerfn+j Kern?

Est-ce bon pour la 2eme partie de la question 1?

Merci

Posté par
apaugam
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 21:37

je te dis de commencer par le montrer pour j=2

soit Ker f^n=Kerf^{n+1}
Prenons x dans Kerf^{n+2}

qu'est-ce que cela veut dire ?

comment en deduire un élément de Kerf^{n+1}

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 21:44

Soit x Kerfn+2 alors fn+2(x)= 0 = f(fn+1(x)) = f(fn(x))

Posté par
apaugam
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 21:53

f^{n+2}(x)= 0 = f(f^{n+1}(x)) = f(f^n(x))
égal aussi

f^{n+1}(f(x))= 0

cela fait un élément dans Kerf^{n+1}

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 22:03

Ca veut dire que f(x) Kerfn+1 mais je vois pas trop en quoi çà m'avance.

Posté par
apaugam
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 22:19

donc à Kerf^{n} puisque tu supposes
soit Ker f^n=Kerf^{n+1}

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 23:21

Mais je dois montrer une donc kerfn=kerfn+1 c'est mon hypothèse ce n'est pas ce que je dois démontrer non?

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 01-12-10 à 23:56

La démarche c'est bien de prendre un x Kerfn+j et de montrer qu'il est alors également dans Kerfn en se servant de l'hypothèse kerfn+1 = kerfn ?

Posté par
apaugam
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 10:09

je reprends
tu supposes Ker f^n=Kerf^{n+1}
tu veux montrer tout d'abord Ker f^n=Kerf^{n+2}
comme tu as déjà une des inclusions tu cherches à prouver
Kerf^{n+2}\subset Ker f^n
Si x\in Kerf^{n+2} en se laissant porter par ce que l'on réussit à trouver (voir ci-dessus)
on a f(x)\in Ker f^n

continue à te laisser porter et tu va finir par arriver au but x\in Ker f^n

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 12:52

Désolé pour mes questions mais je comprends pas trop le raisonnement, je veux montrer que c'est vrai j0 alors pourquoi prendre j=2?

J'ai tenté une récurrence sur j:

Pour j=0 l'inclusion est vérifiée: Kerfn=Kerfn évident

Hérédité: Soit x Kerfn+j+1 alors fn+j+1(x)=0

et fn+j+1(x) = fn+j(f(x)) =0

Donc f(x) kerfn+j et f(x) kerfn (d'après l'hypothèse de récurrence)

et f(x) kerfn fn(f(x)) = 0 or, fn(f(x))= fn+1(x)=0 d'où x kerfn+1 et donc x kerfn (d'après l'hypothèse Kerfn=kerfn+1)

Correct?

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 14:36

En revanche, j'ai du mal avec celle ci:

Montrer que (Im f^{n+1} = Im f^{n}) \Longrightarrow (\forall j \ge 0, Im f^{n+j} = Im f^{n})

L'inclusion Im f^{n+j} \subset Im f^{n} est évidente d'après le première question mais l'inclusion inverse me bloque.

Si quelqu'un a un indice je suis preneur.

Merci

Posté par
Camélia Correcteur
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 15:13

L'inclusion inverse n'est pas tuujours vraie. Il faut montrer que SI Imf^{n+1}=Imf^n ALORS Imf^n\subset Imf^{n+j}

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 15:34

Bah si c'est ce que j'ai montré à la question 1, regarde le premier post

Posté par
Camélia Correcteur
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 15:41

Non, ce n'est pas ce que tu as montré à la question 1

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 16:03

Bah je vois pas pourquoi...

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 16:07

La 1) me montre pourtant que ... Im f^{n+2} \subset Im f^{n+1} \subset Im f^{n} ...

Donc comme j0 c'est vrai non?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 16:14

Sauf que maintenant tu veux l'inclusion dans l'autre sens...

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 16:21

Bah oui je veux montrer que (Ker f^{n+1}=f^{n+1}) \Longrightarrow (\forall j \ge 0, Ker f^{n} \subset f^{n+j}) .

On a dû mal se comprendre ^^

Mais je vois pas comment montrer ceci

Posté par
Camélia Correcteur
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 16:34

Pourquoi tu ne lis pas les posts? On suppose que Im(f^{n+1})=Im(f^n) Commence par montrer que Im(f^{n+1})\subset Im(f^{n+2}) Prends un élément du premier et montre qu'il est dans le second...

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 17:11

Soit y \in Im f^{n+1} alors \exists x \in E, y = f^{n+2}(x) = f^{n+1}[f(x)]

Mais après je vois pas...

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 17:12

y Imfn+2 et pas à Imfn+1

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 17:17

Ah nan j'ai fait l'inverse c'est:
y \in Im f^{n+1} alors \exists x \in E, y = f^{n+1}(x) = f^{n}[f(x)] = f^{n+1}[f(x)] = f^{n+2}(x) car Im f^{n+1}= Im f^{n}
   C'est bien çà?

Posté par
apaugam
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 18:17

je veux montrer que c'est vrai pour j>0 alors pourquoi prendre j=2?

je répond avec un peu de retard
tout simplement pour trouver comment faire la recurrence
sinon on s'y perd pour trouver la stratégie
tu as eu déjà beaucoup de peine pour j=2

mais une fois qu'on a compris comment faire, cela ne sert plus à rien
la recurrence s'ecrit facilement directement en imitant ce que l'on a fait pour j=2

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 19:25

Du coup mon dernier post est correct pour Im, avec j=2? Comment le faire pour tout j?
Pour la récurrence qui concerne Kerf, mon post du 02-12-10 à 12:52 est correct? J'y ai fait la récurrence directement non?

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 20:06

Même après avoir écrit le cas j=2 je vois pas comment faire pour j, mais est-ce qu'au moins mon post de 02-12-10 à 17:17 est correct? çà pourrait expliquer certaine chose si çà ne l'est pas

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 02-12-10 à 23:02

un petit coup de pouce?

Posté par
veleda
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 03-12-10 à 12:25

bonjour,
vous étiez beaucoup mais comme il n'y a plus personne je me permets d'intervenir
je ne suis pas tout à fait d'accord avec la rédaction de ton post de 17h17 du 02
\forall y \in Imf^{n+1}\exists x \in Etel que y= f^{n+1}(x)=f(f^n(x))
or par hypothèse Imf^n=Imf^{n+1} donc
f^n(x)\in Imf^n=>f^n(x)\in Imf^{n+1}=>\exists u\in Etel quef^n(x)=f^{n+1}(u)=>y=f(f^{n+1}(u))=f^{n+2}(u)=>y\in Imf^{n+2}
doncImf^{n+1}\subset Imf^{n+2}

Posté par
apaugam
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 03-12-10 à 13:16

Ah nan j'ai fait l'inverse c'est:
y \in Im f^{n+1} alors \exists x \in E, y = f^{n+1}(x) = f^{n}[f(x)] = f^{n+1}[f(x)] = f^{n+2}(x) car Im f^{n+1}= Im f^{n}
   C'est bien çà?

NON
f^{n}[f(x)] \neq f^{n+1}[f(x)]
par contre
f^{n}[f(x)] = f^{n+1}[x'] car Im f^{n+1}= Im f^{n} PAS TRES UTILE ! x' peut être pris tout simplement égal à x

Mais il y a peut être beaucoup plus simple si tu es en dimension finie

les inclusions et l'égalité des dimensions (facile à obtenir avec ce qui précède) te suffirait

Posté par
apaugam
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 03-12-10 à 13:19

mais je vois que veleda t'a donné une solution

il te reste juste à généraliser à f^{n+j} pour obtenir la récurrence

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 03-12-10 à 14:27

Je suis d'accord pour le cas j=2 d'après ce qu'a écrit veleda mais je vois pas comment faire pour tout j...
je dois prendre un y Imfn+1 et montrer qu'il est également dans Imfn+1+j ?

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 03-12-10 à 14:59

Je tente:
y \in Imf^{n+1} \Longrightarrow \exists x \in E, y=f^{n+1}(x)=f[f^{n}(x)]
Or par hypothèse de récurrence:
Imf^{n} \subset Imf^{n+j} d'où f^{n}(x)\in Imf^{n} \Longrightarrow f^{n}(x) \in Imf^{n+j}
\Longrightarrow \exists u \in E, f^{n}(x) = f^{n+j}(u) soit encore y=f[f^{n+j}(u)] = f^{n+j+1}(u) \Longrightarrow y \in f^{n+j+1}

Correct?

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 03-12-10 à 15:00

MAis le truc c'est que je ne me suis pas servi de l'hypothèse Imfn+1=Imfn

Posté par
apaugam
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 03-12-10 à 18:42

si pour initialiser la récurrence

Posté par
veleda
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 03-12-10 à 19:10

tu as montré queImf^{n+1}\subset Imf^{n+j+1}
mais par hypothèseImf^{n+1}=Imf^ndonc Imf^n\subset Imf^{n+j+1}
d'aprés la première question tu sais que les images forment une suite décroissante au sens de l'inclusion doncImf^{n+j+1}\subset Imf^n donc
Imf^{n+j+1}=Imf^nla propriété est héréditaire
si tu t'intéresses aux dimensions des images successives( comme te l'a dit apaugam ) elles forment une suite décroissante minorée par 0

Posté par
neon29
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 03-12-10 à 19:29

Du coup c'est correct ce que j'ai écrit alors?

La dernière question: Maintenant, E est de dimension finie sur K:

Montrer que:

(1) \exists p \in \mathbb{N}*, Kerf^{p}=Kerf^{p+j}, \forall j \ge 0
(2) Imf^{p}=Imf^{p+j}, \forall j \ge 0
(3) E=Imf^{p}Kerf^{p}

C'est le "il existe" qui me pose problème.

Posté par
veleda
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 03-12-10 à 22:00

1)
d'aprés la première question   les noyaux forment une suite croissante au sens de l'inclusion donc leurs dimensions  forment une suite croissante majorée par n la dimension de E sur K donc pour tout entier naturel jdim Ker f^j\le nil existe donc n+1 dimensions possibles pour la suite des noyaux ce qui veut dire qu'il existe des noyaux ayant la même dimension donc qui sont égaux du fait de l'inclusion
soit p le plus petit entier naturel tel  qu'il existe un entier naturel  p'>p avec dim Ker f^p=dim Kerf^{p'} ce qui implique kerf^p=ker f^{p+1}=.....=ker f^{p'
d'aprés le début du problèmeker f^p=kerf^{p+1} doncpour tout entier naturel j kerf^{p+j}=kerf^p

je vois maintenant que le texte demande p non nul,je n'ai  réfléchi à la question  mais si p=0,f0c'est l'identité donc kerf0={0E}donc f est injective,fof aussi....je ne vois pas pour l'instant pourquoi cela ne marche pas

Posté par
veleda
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 03-12-10 à 22:10

or d'aprés le début du problèmekerf^P=kerf^{p+1}=>pour tout entier
naturel jkerf^{p+j}=kerf^p remplace l'avant avant dernière phrase qui est bancale

Posté par
Camélia Correcteur
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 04-12-10 à 14:57

Salut veleda. Si f=Id, rien n'empêche de prendre p=1 (ou 2010...)

Posté par
veleda
re : Récurrence d'inclusions avec Kerf et Imf 04-12-10 à 17:52

bonjourcamélia
tu as raison
>>neon29
une petite variante pour cette dernière question traitée
dans cette question la suite des dimensions des noyaux est convergente puisque croissante majorée donc pour tout\epsilon>0 ,\exists p\in N/ \forall(q,r)couple d'entiers supérieurs à p on ait|dim ker f ^q-dim kerf^r|\le\epsilonles dimensions étant des entiers naturels cela implique dim kerf^q=dim kerf^r=>les noyaux sont égaux pour tout couple(q,r)'entiers supérieurs à p



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