Salut à tous ;
On vient de se remettre à l'algèbre linéaire et déjà un exo tordu
Soit E un ev et f L(E). On note la composée k-ième
k fois.
1)Montrer que:
--> {OE} Kerf
Kerf²
...
Kerfn
...
---> ... Imfn
Imfn-1
...
Imf
Im Id =E
2) Montrer que: (Kerfn+1 = Kerfn)(
j
0, Kerfn+j = Kerfn)
3) Montrer que: (Imfn+1 = Imfn)(
j
0, Imfn+j =Imfn)
Alors:
1) {OE} Kerf est évident car Kerf est un sev de E. Pour les inclusions suivantes je pensais procéder par récurrence:
L'initialisation on l'a avec ce que je viens d'écrire et pour l'hérédité je suppose que c'est vraie au rang n et je montre que çà l'est également au rang n+1. Mais bon je suis pas certain du tout...
Bonjour
Oui, bien sur que c'est par récurrence! Tu peux commencer par prouver (et éventuellement l'apprendre par coeur) que si f et g sont des endomorphismes linéaires
et
bonjour
oui, mais bon !
on a f(0)=0... donc il est assez évident que si fn(x)=0 alors fn+1(x)=f(fn(x))=0
et donc que ker(fn)ker(fn+1)
ben personnellement je ne vois pas de récurrence là-dedans !
ce que j'ai écrit au-dessus est valable pour tout n0 avec la convention f0=Id, ce qui établit la chaîne d'inclusions
Bonjour MatheuxMatou tu as raison, ce que j'ai écrit avec f et g marche directement sans récurrence!
Du coup pas besoin de récurrence? Pour rédiger à proprement j'écris:
{OE} Kerf car kerf sev de E
Supposons que c'est vrai au rang n:
Soit x kerfn alors fn+1(x) = f(fn(x)=f(O) =0 car f linéaire donc x
kerfn+1.
Pour la suite: Im f E car f est linéaire et, en supposant que c'est valable au rang n, alors fn+1(x) = f(fn(x) or Imfn
E et f(E)
E.
Correct?
2) montrer que (Kerfn+1 = kerfn) (
j
0, Kerfn+j = kerfn)
D'après 1) l'inclusion = kerfn Kerfn+j est évidente.
Pour l'inclusion dans l'autre sens je bloque
Kerfn Kerfn+j car c'est ce que l'on a démontré en 1) non?
Mais comment montrer que (Kerfn+1=Kerfn) Kerfn+j
Kern?
Est-ce bon pour la 2eme partie de la question 1?
Merci
je te dis de commencer par le montrer pour j=2
soit
Prenons x dans
qu'est-ce que cela veut dire ?
comment en deduire un élément de
Mais je dois montrer une donc kerfn=kerfn+1 c'est mon hypothèse ce n'est pas ce que je dois démontrer non?
La démarche c'est bien de prendre un x Kerfn+j et de montrer qu'il est alors également dans Kerfn en se servant de l'hypothèse kerfn+1 = kerfn ?
je reprends
tu supposes
tu veux montrer tout d'abord
comme tu as déjà une des inclusions tu cherches à prouver
Si en se laissant porter par ce que l'on réussit à trouver (voir ci-dessus)
on a
continue à te laisser porter et tu va finir par arriver au but
Désolé pour mes questions mais je comprends pas trop le raisonnement, je veux montrer que c'est vrai j
0 alors pourquoi prendre j=2?
J'ai tenté une récurrence sur j:
Pour j=0 l'inclusion est vérifiée: Kerfn=Kerfn évident
Hérédité: Soit x Kerfn+j+1 alors fn+j+1(x)=0
et fn+j+1(x) = fn+j(f(x)) =0
Donc f(x) kerfn+j et f(x)
kerfn (d'après l'hypothèse de récurrence)
et f(x) kerfn
fn(f(x)) = 0 or, fn(f(x))= fn+1(x)=0 d'où x
kerfn+1 et donc x
kerfn (d'après l'hypothèse Kerfn=kerfn+1)
Correct?
En revanche, j'ai du mal avec celle ci:
Montrer que
L'inclusion est évidente d'après le première question mais l'inclusion inverse me bloque.
Si quelqu'un a un indice je suis preneur.
Merci
Pourquoi tu ne lis pas les posts? On suppose que Commence par montrer que
Prends un élément du premier et montre qu'il est dans le second...
je veux montrer que c'est vrai pour j>0 alors pourquoi prendre j=2?
je répond avec un peu de retard
tout simplement pour trouver comment faire la recurrence
sinon on s'y perd pour trouver la stratégie
tu as eu déjà beaucoup de peine pour j=2
mais une fois qu'on a compris comment faire, cela ne sert plus à rien
la recurrence s'ecrit facilement directement en imitant ce que l'on a fait pour j=2
Du coup mon dernier post est correct pour Im, avec j=2? Comment le faire pour tout j?
Pour la récurrence qui concerne Kerf, mon post du 02-12-10 à 12:52 est correct? J'y ai fait la récurrence directement non?
Même après avoir écrit le cas j=2 je vois pas comment faire pour j, mais est-ce qu'au moins mon post de 02-12-10 à 17:17 est correct? çà pourrait expliquer certaine chose si çà ne l'est pas
bonjour,
vous étiez beaucoup mais comme il n'y a plus personne je me permets d'intervenir
je ne suis pas tout à fait d'accord avec la rédaction de ton post de 17h17 du 02
tel que
or par hypothèse donc
tel que
donc
Ah nan j'ai fait l'inverse c'est:
alors
car
C'est bien çà?
NON
par contre
car
PAS TRES UTILE ! x' peut être pris tout simplement égal à x
Mais il y a peut être beaucoup plus simple si tu es en dimension finie
les inclusions et l'égalité des dimensions (facile à obtenir avec ce qui précède) te suffirait
mais je vois que veleda t'a donné une solution
il te reste juste à généraliser à pour obtenir la récurrence
Je suis d'accord pour le cas j=2 d'après ce qu'a écrit veleda mais je vois pas comment faire pour tout j...
je dois prendre un y Imfn+1 et montrer qu'il est également dans Imfn+1+j ?
tu as montré que
mais par hypothèsedonc
d'aprés la première question tu sais que les images forment une suite décroissante au sens de l'inclusion donc donc
la propriété est héréditaire
si tu t'intéresses aux dimensions des images successives( comme te l'a dit apaugam ) elles forment une suite décroissante minorée par 0
Du coup c'est correct ce que j'ai écrit alors?
La dernière question: Maintenant, E est de dimension finie sur K:
Montrer que:
(1)
(2)
(3)
C'est le "il existe" qui me pose problème.
1)
d'aprés la première question les noyaux forment une suite croissante au sens de l'inclusion donc leurs dimensions forment une suite croissante majorée par n la dimension de E sur K donc pour tout entier naturel jil existe donc n+1 dimensions possibles pour la suite des noyaux ce qui veut dire qu'il existe des noyaux ayant la même dimension donc qui sont égaux du fait de l'inclusion
soit p le plus petit entier naturel tel qu'il existe un entier naturel p'>p avec ce qui implique
d'aprés le début du problème doncpour tout entier naturel j
je vois maintenant que le texte demande p non nul,je n'ai réfléchi à la question mais si p=0,f0c'est l'identité donc kerf0={0E}donc f est injective,fof aussi....je ne vois pas pour l'instant pourquoi cela ne marche pas
or d'aprés le début du problèmepour tout entier
naturel j remplace l'avant avant dernière phrase qui est bancale
bonjourcamélia
tu as raison
>>neon29
une petite variante pour cette dernière question traitée
dans cette question la suite des dimensions des noyaux est convergente puisque croissante majorée donc pour toutcouple d'entiers supérieurs à p on ait
les dimensions étant des entiers naturels cela implique
les noyaux sont égaux pour tout couple
'entiers supérieurs à p
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