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Récurrence et matrice

Posté par
ach20003
18-01-19 à 11:37

Bonjour

J'ai un peu de difficulté avec l'exercice suivant:

On définit deux matrices

A= \begin{bmatrix} 0.8 & 0.8 \\ 0.2 & 0.2 \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 0.2 & -0.8 \\ -0.2 & 0.8 \end{bmatrix}

On demande de prouver par récurrence pour tout entier naturel n:
An=A
Bn = B

Pour n=0 : A0 = I2 et B0=I2

Mais la matrice identité ne correspond pas à A et B !
Comment résoudre ça??

Merci

Posté par
sanantonio312
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 11:43

Bonjour,
Commence peut-être avec n=1...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 11:45

Bonjour, déroule ta récurrence, tu as fait l'initialisation, maintenant montre que si la proposition est vraie pour n (donc hypothèse An = A ) alors on a An+1 = A (en pratique si tu utilises ton hypothèse, il suffit donc que tu montres que A²=A)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 11:46

Oui et puis sanantonio312 a raison, initialise avec n=1 !

Posté par
cocolaricotte
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 11:49

Moi je dirais : initialise avec n=2

Par ce que pour toute matrice Q , on a toujours Q1 = Q

et la question devrait être "On demande de prouver par récurrence pour tout entier naturel n 2 "

Posté par
Glapion Moderateur
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 11:51

An = A on peut tout à fait initialiser avec n = 1. C'est immédiat en plus.

Posté par
sanantonio312
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 11:53

Bah, si Q2=Q, la messe est dite!

Posté par
ach20003
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 11:54

Merci beaucoup, cela semble évident. Je pensais que par la récurrence il faut toujours initialiser avec la première valeur de n.

Posté par
cocolaricotte
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 11:56

Vu que c'est faux au rang n=0 cela veut juste sire que la relation An = A pour tout n dans est fausse.

Posté par
ach20003
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 11:57

Dans le contexte du même exercice; on pose matrice:

M = \begin{bmatrix} 0,9 & 0,4\\ 0,1 & 0,6 \end{bmatrix}

J'ai montré que M = A + 0,5B

J'ai du mal à déduir que Mn = A + 0,5nB

Je sais qu'il faut utiliser la formule du binôme de Newton et le fait que An = A et Bn = B pour  tout entier n

Posté par
Glapion Moderateur
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 11:57

non, on peut initialiser à partir de n'importe quelle valeur, si après on montre que si c'est vrai pour n alors c'est encore vrai pour n+1, on a démontré comme ça que c'est vrai pour toutes les valeurs au dessus de l'initialisation.

Cela dit dans ton exercice on te demande de le montrer " pour tout entier naturel n" donc tu es obligé d'initialiser avec n=1 (et de toute façon c'est pas vrai pour n=0)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 11:58

Citation :
J'ai du mal à déduire que Mn = A + 0,5nB



peut-être une nouvelle récurrence !

Posté par
ach20003
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 12:07

Glapion @ 18-01-2019 à 11:58

peut-être une nouvelle récurrence !


Tu penses? La donnée dit de déduire à partir de M = A + 0,5B

Posté par
Glapion Moderateur
re : Récurrence et matrice 18-01-19 à 12:12

Ben oui et donc l'initialisation est faite.
Maintenant suppose que Mn = A + 0,5nB et montre que c'est encore vrai pour n+1.



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