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Récurrence et suite de Fibonacci

Posté par draluom (invité) 30-09-05 à 22:40

C'est un tout petit exercice sur les récurrences mais je n'arrive pas à trouver la solution. Si quelqu'un pouvait m'aider

[b]EXERCICE :[/b]

Soit (Fn) la suite de Fibonacci définie par F0=1, F1=1 et, pour tout entier n0, Fn+2= Fn+1+ Fn.

Montrer qu'on a F_{n}< 4$(\frac{7}{4})^n pour tout entier n1.



D'avance merci

Posté par
Rouliane
re : Récurrence et suite de Fibonacci 30-09-05 à 22:45

Bonsoir,

En utilisant une récurrence forte, ça doit rouler

Posté par draluom (invité)re : Récurrence et suite de Fibonacci 01-10-05 à 00:42

Désolé mais je ne sais pas en quoi consiste la récurrence forte. Quelqu'un peut-il m'aider?

Posté par
Rouliane
re : Récurrence et suite de Fibonacci 01-10-05 à 00:51

Oui m'siuer

La différence avec la récurrence faible, c'est qu'au lieu de supposer que la propriété est vraie pour un entier n, on suppose qu'elle est vraie pour tous les entiers allant de 1 à n

Car tu te rends bien compte ici que pour montrer ta propriété au rang n+1, tu auras besoin qu'elle soit vérifiée aux rangs n ET n-1

Posté par
cqfd67
re : Récurrence et suite de Fibonacci 01-10-05 à 08:46

bonjour,

soit Pn la propriete Fn<(7/4)^n  (je vais mettre une inegalite large)

comme F1=1 P1 est vraie

Supposons Pk pour k allant de 0 a n vraie et montrons Pn+1

Fn+1=Fn+Fn-1

Or d apres notre hypothese de recurrence
Fn<(7/4)^n
Fn-1<(7/4)^(n-1)

donc Fn+1<(7/4)^(n-1)*[7/4+1]<=(7/4)^(n-1)*11/4

or 11/4<49/16=(7/4)^2
donc
Fn+1<(7/4)^n*(7/4)²=(7/4)^(n+1)

la propriete Pn est hereditaire, donc Pn est vraie pour tout n>=1

Posté par
Keiseria
Récurrence à deux termes 18-09-11 à 12:15

Bonjour,

J'ai exactement le même exercice cependant, j'ai obligation de le résoudre avec une récurrence à deux termes seulement j'ai quelques lacunes ...

J'ai fais mon initialisation et j'ai donc :

F(n+2) -----> F( n ) + F( n+1 ) < (7/4)^n + (7/4)^n+1

En sachant que je dois montrer F(n+2) < (7/4)^n+2

Alors je ne sais pas si je suis dans la bonne voie ... Merci d'avance pour votre aide ^^.



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