Bonsoir,

Une récurrence forte, c'est comme une récurrence "simple" sauf que l'on utilise tous les entiers inférieurs à n. Je m'explique :

initialisation : la même, montre que c'est vrai pour 0 (ou 1 si la propriété est dans N*). Ici il s'agit donc de montrer que f(0)=0.

hérédité : supposons la propriété vérifiée pour tout k[|1,n-1|] c'est à dire que pour tout k<n f(k)=k.
Alors montrons que f(n)=n.

Conclusion : donc la propriété est vraie pour tout n de N.


Essaie avec les hypothèses bien posées comme ceci, et si tu veux des indices supplémentaires, je reste dans le coin

Bonsoir,

Quand on tourne, c'est souvent en rond.
Bref si n = 0 , comme 2x0= 0  forcément  f(0)= 0 si f  est à valeur entière naturelle.

On suppose que f(n)= n jusque  N , alors f(N+1) + f°f(N+1)= 2N+2 , mais un des deux terme de gauche est donc =< N+1 ,
mais  f(N+1) < N+1  est impossible par injectivité ....je te laisse poursuivre

Je pense que tu as démontré le contraire (c-à-d que si , est injective)
J'imagine par ailleurs que

Initialisation
Si est à valeur dans et que cela implique que (et que )

Hypothèse :

Hérédité :


étant injective,
Comme (par hypothèse de récurrence), donc

De même donc

Comme , on a nécessairement

Merci pour vos réponses extrêmement rapides !
Je voyais les récurrences fortes complètement différentes des récurrences simple.
Merci à vous, je vais pouvoir me coucher l'esprit serein

avec plaisir