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récurrence/multiples

Posté par
tetras 28-09-24 à 20:29

bonjour
cette démonstration me pose problème
démontrer par récurrence que n*

2^{6n-5}+3^{2n}est un multiple de 11

initialisation : au rang 1
2+9=11 =11*1

on suppose que pour un certain k

2^{6k-5}=11a-3^{2n}  (HR)
au rang k+1 le membre de gauche donne

2^{6(k+1)-5}=2^{6k-5}*2^{6} \\ \\ 2^{6(k+1)-5}=2^{6}(11a-3^{2n}) \\ \\

pouvez vous me dire si ma démarche est bonne
C'est là que je bloque
merci

Posté par
larrechre : récurrence/multiples 28-09-24 à 23:15

Bonsoir,

Petite étourderie:

2^{6(k+1)-5}=2^{6}(11a-3^{2{\red{k}})

Tu as essayé de  faire la division euclidienne de 2^6 par 11 ?

Posté par
tetrasre : récurrence/multiples 29-09-24 à 08:54

bonjour larrech
2^{6}=64
n'est pas divisible par 11

Posté par
larrechre : récurrence/multiples 29-09-24 à 09:03

Je voulais dire écrire explicitement la dite division, avec quotient et reste

Posté par
tetrasre : récurrence/multiples 29-09-24 à 11:05

2^{{6}(k+1)-5}+3^{2n+2}=11(11*5a)

c'est ce que je voulais montrer
la propriété est héréditaire

waou

Posté par
larrechre : récurrence/multiples 29-09-24 à 11:20

Toujours la même étourderie, n doit être remplacé par k.

2^{{6}(k+1)-5}+3^{2{\red{k}}+2}=11(11*5a)

Posté par
tetrasre : récurrence/multiples 29-09-24 à 11:34

oui oui pas de souci ça c'est facilement rectifiable...par rapport à la difficulté de la démonstration. Merci beaucoup

Posté par
larrechre : récurrence/multiples 29-09-24 à 11:37

Posté par
tetrasre : récurrence/multiples 29-09-24 à 12:01

2^{6}(11a-3^{2k})= \\ \\ (5*11+9)(11a-3^{2k}) \\ \\ (5*11+9)*11a-3^{2}*3^{2k}= \\ \\ 11(5+9a)-3^{2k+2}

je crois que je me suis trompé en développant
le 5*11 doit multiplier aussi le 3^(2k)?

Posté par
tetrasre : récurrence/multiples 29-09-24 à 12:09

je trouve 11[5*11a-5*3^(2k)+9a]-3^2(k+1)

juste?

Posté par
larrechre : récurrence/multiples 29-09-24 à 12:20

Oui, je n'avais pas été assez attentif.

Qu'on peut écrire pour finir

11[5*11a-5*3^{2k}+9a]-3^{2(k+1)} =11a'-3^{2(k+1)}

en appelant a' ce qui est entre crochets

Posté par
tetrasre : récurrence/multiples 29-09-24 à 12:24

merci

Posté par
larrechre : récurrence/multiples 30-09-24 à 11:20

De rien


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