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Recurrence suite de fonctions
Bonjour, j'aurais besoin d'aide sur l'exo suivant :
Soit (fn) une suite de fonctions vérifiant pour tout x > 0 :
f'n() = -
fn+1(
)
f1(x) = x*pi/2
Determiner fn pour tout n>0.
Le corrigé mentionne une « récurrence immédiate » où on montre que
fn(x) = Cn / x2n+1
et où
Cn+1 = (2n+1)/(2n) * Cn ; C1 = pi/2
Je ne vois pas du tout compent obtenir la suite Cn ni d'où sort le x2n+1 ??
Merci par avance pour votre aide.
salut
plusieurs choses :
1/ la récurrence à partir de la solution est effectivement immédiate ... et te donnera les coefficients c_n
2/ par contre l'expression de f semble sortie du chapeau ...
3/ mais le calcul de f_n pour n = 2, 3, 4 semble donner assez rapidement cette expression
4/ et l'écriture avec la condition initiale semble montrer de façon assez évidente que les fonctions sont des fractions rationnelles
Es-tu sûr de ton énoncé ?
Parce que les coefficients C_n sont tous positifs alors que .
Non seulement le signe ne va pas, mais en plus
Ulmiere oui je me suis trompé :
f1(x) = pi/(2*x) ( le x est au dénominateur).
Oui une fois qu'on a l'hypothèse de récurrence tout roule et les Cn tombent tous seuls mais je n'aurais jamais été capable de la sortir…
En somme c'est au feeling qu'on sort la formule ?
Ah voilà, maintenant c'est logique.
Tu peux faire une première récurrence facile, pour montrer que pour tout n et tout x avec
une certaine suite de réels dont on ne demande pas l'expression.
Vrai au rang 1
Et si c'est vrai au rang n, si tu dérives une fonction tu obtiens une fonction
donc en divisant par x, tu as bien une fonction
.
----
Maintenant qu'on a la forme de la fonction f, on peut la réinjecter dans la relation de récurrence qui la définit pour trouver une relation de récurrence sur la suite .
et
la dérivée en x de étant
on doit avoir
ou encore .
Maintenant je te laisse nous calculer en fonction de n à l'aide de cette dernière relation
Ok, merci pour votre aide !
Dernière chose : l'idée d'avoir fn de la forme αn/x2n+1 d'où vient-elle ? En particulier l'exposant 2n+1, comment a-t-on l'idée ?
cf le début de mon message précédent, on calcule simplement les trois premiers termes et on voit clairement qu'ils sont toujours de la forme "truc/x^machin" avec un machin qui augmente de deux à chaque fois et qui commence à 1.
Avec l'expérience, il devient même inutile de les calculer, ces premiers termes, ça saute aux yeux.
De manière générale, quand on te donne un premier terme qui est polynomial (ou rationnel) et une relation de récurrence purement polynomiale (ou rationnelle), avec éventuellement des dérivations, y'a de très fortes chances que la suite soit expressible, à termes polynomiaux (ou rationnels)
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