Bonjour,
quelle est la question ?

Montrer que j ,  a^jb = ba^-j où a et b sont deux éléments d'un groupe tels que aba =b.

J'ai aussi montré que ab = ba^-1 et que ba = a^-1b

hey!

Ta seconde relation s'écrit aussi a^(-1)b=b*a^(-(-1)) donc c'est bien parti pour commencer la récurrence sur -N ça...

ok merci bcp Schumi !

faut-il donc que j'initialise pour j = 1 ?
(je veux montrer que j \,   a^-jb = ba^j)

je voulais dire j = -1

En fait, ya pas de récurrence à faire une fois que t'as réglé le cas où j est entier naturel.
Je suppose que t'as déjà réglé par une récurrence le cas où j est dans N.
Pour conclure suffit de remarquer que a^jb=ba^(-j) ça s'écrit aussi b*a^(j)=a^(-j)b ce qui se lit aussi a^(-j)b=b*a^(-(-j))...

est-ce que j'ai bien le droit d'écrire que a^-jb = ba^-j ??
je n'ai rien montré sur la commutativité..

et ensuite, comment montrer que j,k ,   a^jb^k = b^ka^{((-1)^k)j}

Mais qui a parlé de commutativité là? C'est juste qu'au lieu de lire expression_1=expression_2 (ie b*a^(j)=a^(-j)b) on lit expression_2=expression_1 (ie a^(-j)b=b*a^(-(-j)) ). C'est aussi bête et méchant que ça...

là je suis bien d'accord ms c'est l'étape d'avant qui me gêne :

Ben tu multiplies les deux expressions à droite par a^j  et à gauche par a^(-j).

c'est tout ? bon d'accord !

et pour l'autre, tu saurais ?

Citation :
et ensuite, comment montrer que j,k ,   a^jb^k = b^ka^{((-1)^k)j}

c'est tout ? bon d'accord ! >> Non mais faut pas me croire sur parole non plus; fais-le, au moins tu seras vraiment convaincu!

rassure-toi, je l'ai fait oui. c'est juste que je ne savais pas bien si je pouvais utiliser a^j vu que j _- dans ce cas ; mais après réflexion, il n'y a aucune raison qui l'interdise. je t'en remercie.

aurais-tu une idée pour la seconde égalité ?

Bonsoir, s'il vous plaît j'ai un DS d'algèbre demain matin et j'ai des difficultés a résoudre un exercice qui porte sur la récurrence sur Z, comment faire? Par quel élément commencer, je sais que sur N on commence par n=0 et sur Z ?
Merci!