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Récurrence, systèmes d'équations et binome de newton

Posté par Yesbut (invité) 15-09-07 à 16:08

Bonjour, c'est encore moi...
(Il est précisé un exercice par topic, alors bah j'en crée encore un autre...)

Bon cette fois ci, il s'agit de système d'équation à valider par réccurence :

\forall n \in N,\exists (a_n;b_n) \in N^2 , \\ \\ \{{(i)[1+sqrt(2)]^n=a_n + (b_n)sqrt(2)\atop(ii)(a_n)^2-2(b_n)^2=(-1)^n}

J'ai réussi à démontrer ce système par réccurence, pour ça , pas de soucis.
La question d'après me demande de calculer :

(1+sqrt(2))^n*(1-sqrt(2))^n.

J'ai d'abord pensé à utiliser la formule du binome de Newton et je tombe donc sur

3$ [\Bigsum_{k=0}^n\(n\\k\)*sqrt(2)^{n-k}][\Bigsum_{k=0}^n\(n\\k\)*(-sqrt(2))^{n-k}]

Ai-je intérêt à partir dans ce sens là, ou est-ce qu'il y a une façon plus simple de faire ?
Arrivée à ce produit de sommes, que puis-je faire pour le simplifier ?

Posté par Yesbut (invité)re : Récurrence, systèmes d'équations et binome de newton 15-09-07 à 19:14

Un petit bout d'aide svp ^^.

Posté par
perroquetre : Récurrence, systèmes d'équations et binome de newton 15-09-07 à 19:18

(re)Bonjour, Yesbut

(1+\sqrt{2})^n(1-\sqrt{2})^n= \left((1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})\right)^n =(-1)^n

Posté par
massan45les systèmes de base 15-09-07 à 20:25

tout d'abord je souhaiterais vous remercier pour votre aide; cependant je ne comprends pas du tout la démarche employée, j'y suis en fait complètement hermétique! merci de votre aide!
1)Dans une certaine base b un nombre s'écrit 1254 et son double 2541. Quel est ce nombre et quelle est cette base? (D'après TD maths université rennes 1).

2) Dans le système de base 12 un nombre s'écrit abc. Dans le système de base 5, le même nombre s'écrit abc0. Quel est ce nombre?

Posté par Yesbut (invité)re : Récurrence, systèmes d'équations et binome de newton 16-09-07 à 14:59

Merci beaucoup Perroquet pour ta réponse !
Euh par contre massan je ne comprend pas ton message ... ?


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