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Redaction - Recurrence (dérivée nème)

Posté par XMika (invité) 24-09-06 à 11:46

Bonjour,

J'ai un doute à propos de la justesse et de la clarté de mon raisonnement concernant un exercice sur des propriétés des dérivées partielles des fonctions trigonométriques $sin(x)$ et $cos(x)$ .

Voici l'énoncé : on note $f^{(n)}$ la dérivée $n^{(eme)}$ de $f$ .
$(\forall x \in \mathbb{R}) sin^{(n)}(x)=sin(x+n\pi/2)$
et
$(\forall x \in \mathbb{R}) cos^{(n)}(x)=cos(x+n\pi/2)$

Avant de rédiger mon raisonnement par récurrence j'ai étudié au brouillon le comportement de la fonction sin(x) lorsqu'on la dérive plusieurs fois :
$sin^{0}(x)=sin(x) \\ sin^{1}(x)=cos(x) \\ sin^{2}(x)=-sin(x) \\ sin^{3}(x)=-cos(x) \\ sin^{4}(x)=sin(x)$
...
On distingue une période que je n'ai pas caractérisée.

Voici maintenant mon raisonnement pour la première propriété à démontrer par récurrence (la deuxième étant analogue) :

Je procède tout d'abord à l'initialisation :
Regardons si la propriété $P(0)$ est vraie, $sin^{0}(x)=sin(x+0\pi/2)=sin(x)$

L'initialisation véifiée pour tout $n\ge 0$ si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ est vraie aussi.
$sin(x+(n+1)\pi/2)=sin(x)cos(n\pi/2 + \pi)+sin(n\pi/2 + \pi)cos(x)$

or $sin (a+\pi/2)=cos(a)$ et $cos(a+\pi/2)=-sin(a)$ , je peux donc écrire la ligne suivante.
$sin(x+(n+1)\pi/2)=(-1)sin(x)sin(n\pi/2) + cos(n\pi/2)cos(x)$
Je factorise selon l'identité remarquable $cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)=cos(a+b)$
$sin(x+(n+1)\pi/2)=cos(x+n\pi/2) \\ sin(x+(n+1)\pi/2)=(-1)sin(x+n\pi/2)=(-1)sin^{n}$

Je retrouve ma propriété $P(n)$ dans cette ligne, mais la démonstration me semble être incomplète...Ma crainte est-elle justifiée ?

Merci.

Posté par re : Redaction - Recurrence (dérivée nème) 24-09-06 à 14:28

Bonjour
Le passage de P(n) à P(n+1) est trop compliqué (quoique juste à première vue).
En effet
$[\sin(x+n\pi/2)]'=\cos(x+n\pi/2)=\sin(x+n\pi/2+\pi/2)$
d'après la propriété générale $\cos a=\sin(a+\pi/2)$
Il ne faut pas trop en faire!

Posté par XMika (invité)re : Redaction - Recurrence (dérivée nème) 24-09-06 à 15:41

C'est effectivement beaucoup plus court et précis, j'opterai d'ailleurs pour votre raisonnement.

Je ne peux pas m'empêcher de me retourner vers ma trop longue demonstration en me disant que je suis passé à côté de quelque chose d'essentiel. Je continuerai tout de même afin de voir si je ne trouve pas une erreur substantielle.

Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par re : Redaction - Recurrence (dérivée nème) 24-09-06 à 16:29

Non, il n'y avait pas d'erreur grave (simplement on peut dériver f(x+a) même si on ne connait pas de formule de décomposition en somme!)

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