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Niveau Maths sup
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réduction des endomorphismes

Posté par
hajer123456
19-12-17 à 15:26

Salut tout le monde , j'ai des difficultés à répondre aux 2 dernières questions de cet exercice
f un endomorphisme d'un K espace vectoriel E de dimension finie vérifiant f3+f=0
1) montrer que ker(f2+id)kerf=E
2)montrer que Imf =ker(f2+id)
3)supposonsK=C f est il diagonalisable ?
4) montrer que l'endomorphisme v= fImf induit par f vérifie v2=-id en déduire que rg f est pair
merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteur
re : réduction des endomorphismes 19-12-17 à 15:46

Bonjour

3) Le polynôme minimal possède 3 racines distinctes dans \C

4) Tu peux utiliser les questions 2) et 3) pour trouver le polynôme minimal de v

Posté par
ThierryPoma
re : réduction des endomorphismes 19-12-17 à 16:07

Bonsoir,

Attention, le polynôme X^3+X est seulement annulateur de f et pas nécessairement le polynôme minimal de f (penser par exemple à l'endomorphisme nul !). Cependant, comme dans \C, ce polynôme annulateur est à racines simples et mutuellement distinctes, le problème est résolu.

Posté par
hajer123456
re : réduction des endomorphismes 19-12-17 à 16:12

Merci beaucoup Camélia
3) je dois dire p(x) =x3+x= x(x2+1) =0 donc x={0,-i,i,} donc le polynôme minimal admet 3 racine distinctes sur C
4)j'essaye d'après 2) Im f= ker(f2+ide) Imf est stable par f donc Ker (f2+ide)= ker(v2+ide) donc v2+ide=0 polynôme minimal de v et v2=-ide
pour le rg comment je montre qu'il est pair?

Posté par
hajer123456
re : réduction des endomorphismes 19-12-17 à 16:18

ThierryPoma je comprend pas est ce je peux pas travailler avec x^3+x ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : réduction des endomorphismes 19-12-17 à 16:21

Pour le rang pair, ne te dit-on pas que la matrice est à coefficients réels? Sinon, ce n'est pas vrai!

Posté par
hajer123456
re : réduction des endomorphismes 19-12-17 à 16:28

non j'ai recopié tout l'énoncé pourquoi ce n'est pas vrai?

Posté par
Camélia Correcteur
re : réduction des endomorphismes 19-12-17 à 16:31

Par exemple la matrice diagonale Diag(0,i,i,-i) vérifie les hypothèses et est de rang 3.

Posté par
hajer123456
re : réduction des endomorphismes 19-12-17 à 16:36

d'accord si c'etait dans R comment je dois répondre?

Posté par
Camélia Correcteur
re : réduction des endomorphismes 19-12-17 à 16:39

Les valeurs propres complexes d'une matrice réelle sont conjuguées deux à deux. Donc il y a autant de i que de -i.

Posté par
hajer123456
re : réduction des endomorphismes 19-12-17 à 16:51

est ce que je paux pas résonner sur le déterminant car je pense uque je dois utiliser la question précédente det(v2)= det((-id)) = (-1)rgf =(detv)2 donc rg f est pair je sais pas si la rédaction est juste ou non

Posté par
hajer123456
re : réduction des endomorphismes 19-12-17 à 18:57

J'ai une question concernant les endomorphismes induits est ce que v(F)=vF(F)=Imv =ImvF tel que Fsev non nul de E stable par v



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