Salut tout le monde , j'ai des difficultés à répondre aux 2 dernières questions de cet exercice
f un endomorphisme d'un K espace vectoriel E de dimension finie vérifiant f3+f=0
1) montrer que ker(f2+id)kerf=E
2)montrer que Imf =ker(f2+id)
3)supposonsK=C f est il diagonalisable ?
4) montrer que l'endomorphisme v= fImf induit par f vérifie v2=-id en déduire que rg f est pair
merci d'avance
Bonjour
3) Le polynôme minimal possède 3 racines distinctes dans
4) Tu peux utiliser les questions 2) et 3) pour trouver le polynôme minimal de
Bonsoir,
Attention, le polynôme est seulement annulateur de
et pas nécessairement le polynôme minimal de
(penser par exemple à l'endomorphisme nul !). Cependant, comme dans
, ce polynôme annulateur est à racines simples et mutuellement distinctes, le problème est résolu.
Merci beaucoup Camélia
3) je dois dire p(x) =x3+x= x(x2+1) =0 donc x={0,-i,i,} donc le polynôme minimal admet 3 racine distinctes sur C
4)j'essaye d'après 2) Im f= ker(f2+ide) Imf est stable par f donc Ker (f2+ide)= ker(v2+ide) donc v2+ide=0 polynôme minimal de v et v2=-ide
pour le rg comment je montre qu'il est pair?
Pour le rang pair, ne te dit-on pas que la matrice est à coefficients réels? Sinon, ce n'est pas vrai!
Les valeurs propres complexes d'une matrice réelle sont conjuguées deux à deux. Donc il y a autant de que de
.
est ce que je paux pas résonner sur le déterminant car je pense uque je dois utiliser la question précédente det(v2)= det((-id)) = (-1)rgf =(detv)2 donc rg f est pair je sais pas si la rédaction est juste ou non
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