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Niveau Maths sup
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réduction des endomorphismes

Posté par
greenpurple
30-03-23 à 15:40

bonjour
soit u un endomorphisme d'un K ev tel que rg(u)=1 et Ker(u-Id)!={0}
comment je peux savoir si  polynome caractéristque de u est sindé sur K ?
et merci d'avance

Posté par
Rintaro
re : réduction des endomorphismes 30-03-23 à 16:16

Bonjour,

le cas de la dimension 1 n'est pas intéressant, je suppose que l'espace vectoriel considéré est de dimension plus grande que 1. Si le polynôme caractéristique est scindé : qu'est-ce que ça implique ?
Une fois que tu as répondu à ça, toujours dans le cas où on assume qu'il est scindé, quelles peuvent être les racines de ce polynôme (utiliser rang(u) = 1) ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : réduction des endomorphismes 30-03-23 à 16:20

Bonjour.
Puisque rg(u)=1, on a dim(u)=n-1 (si n est la dimension de l'espace). Par ailleurs, montre qu'on ne peut pas avoir Im(u)\subset Ker(u). Enfin, regarde la matrice de u dans une base bien choisie.

Posté par
Camélia Correcteur
re : réduction des endomorphismes 30-03-23 à 16:21

Bonjour Rintaro, je n'avais pas vu ta réponse. Je te laisse volontiers continuer, de toute façon je ne reste plus très longtemps.

Posté par
Rintaro
re : réduction des endomorphismes 30-03-23 à 16:25

Bonjour Camélia aucun problème, j'ai l'impression que ton approche est plus directe. Attendons de voir les réponses de greenpurple (par ailleurs, je passe en coup de vent, si tu me vois déconnecté n'hésite pas à continuer !).

Posté par
greenpurple
re : réduction des endomorphismes 30-03-23 à 16:28

si le polynome caractéristique est sindé alors u est diagonalisable et puisque 0 est une valeur propre de multiplicité  égal à n-1 donc le polynome caractérstique va s'écrire sous la forme X^n-1( X-λ)mais il n'est pas  sindé

Posté par
Rintaro
re : réduction des endomorphismes 30-03-23 à 16:36

Non, tu confonds scindé et scindé à racines simples, essaye de corriger.

Posté par
greenpurple
re : réduction des endomorphismes 30-03-23 à 16:41

un polynome est sindé s'il s'écrit comme produit de polynome de degré 1

Posté par
Rintaro
re : réduction des endomorphismes 30-03-23 à 16:42

Oui, mais ceci n'exclut pas le cas de multiplicités > 1.

Posté par
Rintaro
re : réduction des endomorphismes 30-03-23 à 16:43

(X-2)^2(X-3) = (X-2)(X-2)(X-3) est bien scindé (scindé avec un "c" avant le "i" !)

Posté par
greenpurple
re : réduction des endomorphismes 30-03-23 à 16:45

d'accord j'ai bien compris merci

Posté par
Rintaro
re : réduction des endomorphismes 30-03-23 à 17:11

De rien, mais on a pas fini !

Après avoir compris ça, peux-tu modifier ton raisonnement ?



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