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Réduction des endomorphismes de rang 1

Posté par
QuentinDelon1
30-07-22 à 11:05

Bonjour, voici une partie d'un problème qui me pose problème.

'Dans cette partie, E est un -ev de dimension finie n2 et u est un endomorphisme de E de rang égal à 1.

1) En considérant Im(u)Ker(u), prouver que E=Im(u)Ker(u) ou Im(u)Ker(u).

Je ne vois comment procéder pour cette question, avec seulement les dimensions ! Un indice ?

Posté par
jarod128
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 30-07-22 à 11:13

Bonjour, pense au théorème du rang.

Posté par
carpediem
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 30-07-22 à 13:05

salut

remarquer simplement que par définition si le rang de u est 1 alors son image est une droite vectorielle donc Im (u) = <v> pour un certain vecteur v non nul ...

Posté par
QuentinDelon1
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 31-07-22 à 09:13

J'y ai pensé pour montrer la somme directe, on utilise les dimensions, puis on montre que Im(u)Ker(u)\left\{O_{E} \right\}, mais c'est là que je bloque.. n'ayant aucune autre information que les dimensions, je ne m'en sors pas.

Posté par
carpediem
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 31-07-22 à 12:23

pour ce vecteur v il y a alors deux cas :

u(v) = 0 et alors Im(u) Ker u

u(v) 0 et alors u(v) = kv pour un certain scalaire k non nul

il est alors clair que tout vecteur w s'écrit de façon unique av + t où t ker u

...

Posté par
QuentinDelon1
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 01-08-22 à 10:48

Bonjour,

Je pense comprendre ce que vous avez dit. Questions :

On peut écrire u(v)=kv car Im(u)=Vect(v) ?

Citation :
u(v)  0 et alors u(v) = kv pour un certain scalaire k non nul

il est alors clair que tout vecteur w s'écrit de façon unique av + t où t  ker u


Ici k=a  ? Enfin il s'agit juste d'un scalaire quelconque dans les 2 cas ?

Avoir w qui s'écrit comme ceci, nous permet de dire que Im(u) et Ker(u) sont en somme directe car la décomposition  est unique ?

Posté par
carpediem
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 01-08-22 à 12:11

carpediem @ 30-07-2022 à 13:05

par définition si le rang de u est 1 alors son image est une droite vectorielle donc Im (u) = <v> = vec (v) pour un certain vecteur v non nul ...

carpediem @ 31-07-2022 à 12:23

pour ce vecteur v il y a alors deux cas :

u(v) = 0 et alors Im(u) Ker u     car alors pour tout scalaire k u(kv) = 0 donc vec (v) Ker u bien sûr

u(v) 0 et alors u(v) = kv pour un certain scalaire k non nul car Im (u) = vec (v)

il est alors clair que tout vecteur w s'écrit de façon unique av + t où t ker u

...
si u(v) 0 il est alors évident que pour tout scalaire k non nul u(kv) 0
donc vec (v) n'est pas inclus dans Ker u

et a n'est pas k, c'est simplement un scalaire à déterminer quand je prends une base B de Ker u à laquelle j'adjoins le vecteur v ...

et alors (par le théorème du rang) (v, B) est une base de E

Posté par
QuentinDelon1
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 01-08-22 à 16:24

D'accord mercii!

J'enchaine donc sur la 2eme question:

2) On suppose Im(u)Ker(u)
a) Justifier qu'il existe un vecteur e1 appartenant à E tel que u(e1)Im(u)\{OE}
b)En déduire qu'il existe une base de Ker(u) de la forme (u(e1)),e3,...,e4)

Aucune piste pour celles-ci, un indice pour commencer ?

Posté par
carpediem
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 01-08-22 à 20:54

tu remarqueras que pour répondre à 1/ je n'ai pas suivi l'indication donnée ...

avec laquelle on peut considérer les deux situations :

Im u Ker u = {0}
Im u Ker u  contient un vecteur v non nul ...

et on conclut avec le théorème du rang ...

mais qu'en fait j'ai répondu en même temps à 2/ avec ma méthode qui me semble "naïve" et naturelle en utilisant uniquement la définition de rang d'une application linéaire ....

à toi donc de réfléchir à ce que j'ai écrit pour l'adapter et faire (une sorte de) la réciproque dans le cas demandé ...

si Im u Ker u alors il existe un vecteur v non nul tel que u(v) = 0 (et u[u(v)] = 0)

...

Posté par
jeanseb
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 01-08-22 à 20:59

Bonsoir

a) pour tout vecteur e de E, u(e) est dans Im(u) , par définition, non?
Il s'agit donc de montrer que tous les u(e) ne sont pas nuls.
Regarde dans les hypothèses de départ ce qui ne serait pas vérifié si ce n'était pas le cas.

Posté par
QuentinDelon1
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 02-08-22 à 09:03

Je regarde tout ça demain, merci à vous !

Posté par
QuentinDelon1
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 03-08-22 à 11:10

Bonjour, je n'ai sûrement pas bien compris car je ne vois comment adapter ce que vous m'avez dit pour la question 1 en utilisant de Im(u)Ker(u) ?

Je m'intéresserai à la réciproque après avoir compris

Posté par
mousse42
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 03-08-22 à 20:30

Salut,

Pourquoi ne pas considérer Im(u)\cap \ker u et montrer que \dim \left(Im(u)\cap \ker u\right)\le 1, tu as deux cas à traiter. Dans les deux cas tu auras besoin de la formule de Grassman.

Posté par
QuentinDelon1
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 04-08-22 à 10:21

Bonjour, j'ai du mal à faire le lien avec toutes vos réponses..

En considérant Im(u)Ker(u) ={Oe},
dim(Im(u)Ker(u))=0 et d'après la formule de Grassman, dim(Im(u)+Ker(u))=n, ce qui correspond à une propriété de deux espaces supplémentaires mais ça ne prouve pas qu'ils le sont ?

Pour le 2eme cas, je ne vois pas comment procéder

Posté par
carpediem
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 04-08-22 à 15:17

QuentinDelon1 @ 30-07-2022 à 11:05

E est un -ev de dimension finie n2 et u est un endomorphisme de E de rang égal à 1.

et
QuentinDelon1 @ 01-08-2022 à 16:24

2) On suppose Im(u)Ker(u)
a) Justifier qu'il existe un vecteur e1 appartenant à E tel que u(e1)Im(u)\{OE}
b)En déduire qu'il existe une base de Ker(u) de la forme (u(e1)),e3,...,e4)

rang (u) = 1 => il existe v non nul tel que pour tout w dans E u(w) = kv (avec k scalaire) (et Im u = vec (v)

et l'ensemble des vecteurs w tels que k = 0 est bien évidemment Ker u

si pour tout vecteur w : k = 0 alors E = Ker u et rang u = 0

donc il existe un vecteur t tel que u(t) Im u \{0}

Posté par
Camélia Correcteur
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 04-08-22 à 15:49

Bonjour à tous.
Je n'ai pas tout lu, mais il me semble que les difficultés sont dues à la méconnaissance du théorème suivant, bon à connaitre quand un fait de l'algèbre linéaire.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie et soient A et B deux sous-espaces vectoriels.
On a E=A\oplus B si et seulement si A\cap B=\{0\} et dim(A)+dim(B)=dim(E)

Posté par
mousse42
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 05-08-22 à 00:31

Bonjour,

Camélia @ 04-08-2022 à 15:49

Bonjour à tous.
Je n'ai pas tout lu, mais il me semble que les difficultés sont dues à la méconnaissance du théorème suivant, bon à connaitre quand un fait de l'algèbre linéaire.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie et soient A et B deux sous-espaces vectoriels.
On a E=A\oplus B si et seulement si A\cap B=\{0\} et dim(A)+dim(B)=dim(E)


Je dirais plutôt :
A\cap B=\{0\} \text{\;et\;} \dim(A+B)=\dim(E)

QuentinDelon1 @ 04-08-2022 à 10:21

Bonjour, j'ai du mal à faire le lien avec toutes vos réponses..

En considérant Im(u)Ker(u) ={Oe},
dim(Im(u)Ker(u))=0 et d'après la formule de Grassman, dim(Im(u)+Ker(u))=n, ce qui correspond à une propriété de deux espaces supplémentaires mais ça ne prouve pas qu'ils le sont ?

Pour le 2eme cas, je ne vois pas comment procéder



On s'appuie sur cette caractérisation  $Im$u\oplus \ker u\iff $Im$u+\ker u=E $ et $ $Im$ u\cap \ker u=\{0_E\}

Cas où $Im$ u\cap \ker u=\{0_E\}

Déjà on a $Im$(u)+\ker(u) qui est un sev de E.

De plus, tu dis que \dim($Im$(u)+\ker(u))=n d'après Grassman ce qui veut dire que le sev  $Im$(u)+\ker(u) est de même dimension que E, que dois-tu conclure?

Posté par
mousse42
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 05-08-22 à 00:36

Camelia, tu peux passer sur ma remarque, je pensais que A\cap B=\{0\} \text{\;et\;} \dim(A+B)=\dim(E) est moins fort que ce que tu as proposé.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Réduction des endomorphismes de rang 1 05-08-22 à 15:18

Bien sur que dim(A)+dim(B)=dim(E) , n'est pas équivalent à dim(A+B)=E en général. En présence de A\cap B=\{0\} ils le sont!



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