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Réduction et inégalité

Posté par
Rom123 27-06-21 à 12:38

Bonjour à tous,
je bloque (sans trop savoir comment démarrer) sur l'exo suivant:

"Soit K = R ou C, n ∈ N*, M ∈ Mn(K),
Montrer que pour toute valeur propre λ de M,   alors

|\lambda |\  \leq \  \sum^{n}_{k=0} |a_{k}|   
où les a_k sont les coefficients du polynôme caractéristique de M "

J'ai d'abord essayé de raisonner avec les relations coefficients racines (sans succès),  je me retrouve un peu à découvert sans trop de piste pour démarrer...

Un grand merci d'avance aux âmes charitables qui voudront bien m'aider  

Posté par
Aalex00re : Réduction et inégalité 27-06-21 à 19:14

Bonjour,

Une bonne piste. Si je note P(X)=X^n+\sum_{i=0}^{n-1}a_iX^i un polynôme à coefficients dans \mathbb{K}, avec n\geq 1, alors les racines de P sont de module(valeur absolue) plus petit(e) que \max\{1,\sum_{i=0}^{n-1}a_i\}. C'est un résultat de localisation des racines.

Posté par
Rom123re : Réduction et inégalité 27-06-21 à 19:54

Ok c'est bon, merci Aalex00 ! Il suffit de disjoncter selon le module de lambda (évident pour |lambda| < 1) et on le montre bien en majorant tous les |lambda|^k par |lambda|^n-1 sur la somme lorsque le module est > 1 !

Bonne soirée à toi et merci


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