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Réductions des endomorphismes

Posté par
Mathsterminal
21-04-17 à 00:58

Bonsoir à tous,

Exercice :
Soit V = Mn() l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n × n. Le but de cet exercice est d'étudier l'endomorphisme GA de V donné par :
GA : V → V
                                  MAM
où A est une matrice carrée de taille n fixée.
1. Montrez que GA = 0 si et seulement si A = 0.
2. Dans cette partie, on suppose que n = 2 et que A est une matrice diagonale de la forme A = \begin{pmatrix} \lambda 1 & 0\\ 0 & \lambda 2 \end{pmatrix}
. On note eij la matrice dont le seul coefficient non nul est un 1 placé à la i-ème ligne et à la j-ième colonne.

(a) Montrez que B = (e11, e12, e21, e22) est une base de V .
(b) Déterminez la matrice G ∈ M4() de GA dans la base B.
(c) En déduire que GA est diagonalisable et donnez son polynôme minimal et son polynôme caractéristique.
(d) Quels liens y a-t-il entre ces polynômes et les polynômes correspondant pour la matrice A ?

Voilà ce que j'ai fais :

1. GA(M) = 0 AM=0 A=0

Cependant je trouve cette justification trop simpliste et je pense que l'on demande quelque chose de plus complet. Mon problème est que je n'ai aucune information concernant M mise à part que c'est une matrice de Mn() ...

2.(a) On a e11=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
e12=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
e21=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 1& 0 \end{pmatrix}
e22=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Et donc B est une base de V car B est la base canonique de M2()

Encore une fois je ne suis pas sur que ma réponse soit assez complète .. Qu'en pensez vous ?

(b) A partir de là, je sèche complètement .. Comment G une matrice de taille 4*4 peut être déterminer dans une base composer de matrice 2*2 ??
Du coup impossible d'avancer dans l'exercice car les questions ne sont pas dépendantes.

Merci d'avance

Posté par
Mathsterminal
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 01:00

Les questions ne sont pas indépendantes **

Posté par
GGenn
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 03:21

tu oublies que e11 est un vecteur et que la première colonne de la matrice G décrit A * e11 dans la base B

Posté par
luzak
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 08:03

Bonjour !
Ta réponse 1. ne va pas ! Tu ne peux pas dire qu'un produit nul implique un des facteurs nul.
Il faut montrer proprement que si A\neq0 alors G_A\neq0 : donc montrer qu'il existe au moins UNE matrice M telle que AM\neq0.

2.b.  Après avoir choisi un ordre dans ta base, tu dois calculer Ae_{p,q} en fonction des e_{i,j}, ce qui te donnera les colonnes de la matrice de G_A

Pour les questions suivantes il faut avoir calculé la matrice demandée.

Posté par
Mathsterminal
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 08:09

Bonjour GGenn,

D'accord, donc en multipliant A*e11, on obtient : \begin{pmatrix} \lambda 1 &0 \\ \ 0 & 0 \end{pmatrix}
Et ceci peut s'écrire \begin{pmatrix} \lambda 1\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
et correspond à la premier colonne.

En faisant de même avec e12,e21 et e22, on obtient la matrice G suivante :
G= \begin{pmatrix} \lambda 1 & 0 & 0 & 0\\ 0& \lambda 1 & 0 &0 \\ 0& 0 & \lambda 2&0 \\ 0& 0 & 0 & \lambda 2 \end{pmatrix}

Du coup pour la question suivante, nous pouvons dire que GA est diagonalisable étant donné que l'on a trouvé avec la base B une matrice diagonale.
Pour ce qui est du polynôme caractéristique et minimal :
(x)= (x-1)²(x-2)²
Pour le polynôme minimal par contre je ne vois pas comment le retrouver, je sais que les cas possibles sont :
(x) =
(x-1)(x-2)  ou
(x-1)(x-2)²  ou
(x-1)²(x-2)  ou
(x-1)²(x-2)²

Mais comment savoir lequel correspond ? Habituellement nous devions calculer (C) avec les différents degré (du plus petit au plus grand) et quand ceci est annulateur c'est le polynôme minimal, or ici C (une notation que j'ai inclus moi même afin de m'expliquer) est la matrice avant d'être diagonalisé et ici nous n'avons pas cette matrice..

Posté par
Mathsterminal
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 08:17

Bonjour luzak,

Je comprend, mais comment montrer cela ? Un contre-exemple suffit ?
Si je prend une matrice tq M=\begin{pmatrix} a11 &a12 \\ a21&a22 \end{pmatrix}   avec a11, a12, a21 et a22 tous non nuls alors AM est une matrice qui possède des coeffs non nuls ?

Posté par
luzak
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 08:19

Si une matrice est diagonalisable, le polynôme minimal est le produit, pour les valeurs propres distinctes \lambda, des (X-\lambda)

Posté par
Mathsterminal
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 08:22

Pour plus de précision si je prend A=\begin{pmatrix} b11 &b12 \\ b21& b22 \end{pmatrix} matrice non nul
Il faut en plus que :
a11*b11 a12*b21
ou a11*b12a12*b22
ou a21*b11a22*b21
ou a21*b12a22*b22

Posté par
Mathsterminal
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 08:24

Oui je l'ai bien compris luzak mais dans notre cas nous n'avons pas la matrice diagonalisable mais la matrice diagonalisé, non ?

Posté par
luzak
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 13:13

1. Ton problème est : si A\neq0 alors G_A\neq0.
Or G_A=0 implique que pour TOUTE matrice M on a AM=0.
Tu ne vois vraiment pas comment choisir UNE matrice M pour avoir une contradiction ?

Que la matrice soit diagonale ou pas, deux matrices SEMBLABLES ont même polynôme minimal.
De toutes façons tu as calculé la matrice de G_A et fait apparaître les valeurs propres \lambda_1,\lambda_2.
Si \lambda_1\neq\lambda_2 le polynôme minimal sera (X-\lambda_1)(X-\lambda_2).
Si \lambda_1=\lambda_2 le polynôme minimal sera (X-\lambda_1).

En revanche les polynômes caractéristiques sont (X-\lambda_1)(X-\lambda_2) pour A et (X-\lambda_1)^2(X-\lambda_2)^2 pour G_A.

Posté par
ThierryPoma
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 14:31

Bonjour,

En utilisant les matrices élémentaires E_{i,\,j}, le 1. se trouve aisément et directement sans utiliser de contraposée, ou de raisonnement par l'absurde.

Posté par
luzak
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 16:51

Bonjour ThierryPoma !
L'utilisation de la base canonique est demandée en question 2.
Il n'est quand même pas difficile de prendre M=I_n ou, plus généralement, M inversible !

Posté par
ThierryPoma
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 17:31

@Luzak : Je n'avais pas tout lu. Je pense que la matrice identité est largement suffisante pour répondre aisément, directement et sans douleur au 1.

Posté par
Mathsterminal
Endomorphisme et diagonalisation 21-04-17 à 20:32

Bonsoir à tous,

Exercice :
Soit V = Mn() l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n × n. Le but de cet exercice est d'étudier l'endomorphisme GA de V donné par :
GA : V ? V
          MAM
où A est une matrice carrée de taille n fixée.


3) On considère maintenant le cas où n est quelconque.
(a) Soit P ? R[X] un polynôme quelconque. Montrez que P(GA) = GP(A). On pourra commencer par considérer le cas où P = Xk.
(b) En déduire que A et GA ont même polynôme minimal.
(c) En déduire que GA est diagonalisable (resp nilpotent) si et seulement si A est diagonalisable
(resp nilpotente).

A savoir que d'après des questions précédente nous avons montré que : GA=0 A=0

Ce que j'ai fais :

3)(a) Soit P = Xk alors P(GA(M)) =P(AM)=(AM)k
et GP(A)(M) = P(A) M = AkM
Il s'agit donc de montrer que (AM)k=AkM
(Le cas où A=0 est trivial ..)
Clairement je n'arrive pas à montrer cette égalité et les questions sont dépendantes, si vous pouvez me débloquer svp ..
Merci à tous

*** message déplacé ***
* Glapion > le multi-post n'est pas toléré sur le forum ! *

Posté par
jb2017
re : Endomorphisme et diagonalisation 21-04-17 à 21:03

Bonjour, tu n'y arrives pas parce que tu ne vois pas bien ce qu'est
P(G_A).

En effet prenons k=2.
P(G_A)=G_AG_A  
et donc  

 \\ P(G_A) M= G_A(G_A M)=G_A(AM)=A(AM)=A^2M....!!!!



*** message déplacé ***

Posté par
luzak
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 22:47

Bonsoir !
Plus généralement on montre que A\mapsto G_A est un morphisme de l'algèbre V dans l'algèbre \mathbb{M}_{n^2}(\R) ( identifiée à l'algèbre \mathcal{L}(V) )

Posté par
Mathsterminal
re : Réductions des endomorphismes 21-04-17 à 23:52

Bonsoir jb2017,

D'accord ! Je comprend mieux, je te remercie. Par contre, nous avons fait que le cas d'un polynôme tq P=Xk, faut-il faire d'autres cas ? Si oui, lesquels ? Car l'énoncé dit "pour tout polynôme quelconque" et je ne pense pas qu'il faut tester cela pour tout les types de polynômes.

J'ai quand même essayé de répondre aux questions suivantes, mais encore une fois je bloque, il faut déduire de la question (a) que A et GA ont le même polynôme minimal or je ne vois ce que cette question nous a apportée à propos des polynômes minimaux.
Sinon je sais que deux matrices ont le même polynôme minimal si elles sont semblables, comment montrer que A et GA sont semblable ??

NB : Je m'excuse pour ce "multi-post" l'exercice comportant plusieurs parties indépendante je voulais travailler en même temps les deux parties comme deux exercices différents.. Je vais essayer de ne pas m'embrouiller entre les deux parties..

Posté par
Mathsterminal
re : Réductions des endomorphismes 22-04-17 à 00:03

On a P=Xk,

P(GA)=GP(A)
GAk=Ak

Peut-on dire à partir de cette égalité qu'ils ont donc le même polynôme minimal ?

Posté par
jb2017
re : Réductions des endomorphismes 22-04-17 à 09:05

Bonjour
Je suis un peu perdu avec ce post.  Je pense que tu avais raison de séparer les choses.
Bref pour avoir démontrer que G_{P(A)}= P(G_A) pour tout :  P(X)= X^k , \forall k,  
il est facile de voir que cette propriété reste vraie pour tout P  , ceci grâce à la linéarité.

A et G_A ont même polynôme minimal car on a : P(A)=0  ssi P(G_A)=0.

C'est une conséquence directe de  ce que l'on vient de démontrer et de la question juste avant (i.e
G_A=0 ssi  A=0)

Posté par
luzak
re : Réductions des endomorphismes 22-04-17 à 09:30

@Mathsterminal

Citation :

Sinon je sais que deux matrices ont le même polynôme minimal si elles sont semblables, comment montrer que A et GA sont semblable ??

Tu ne pourras JAMAIS : l'une a n lignes, l'autre n^2 lignes.

Posté par
Mathsterminal
re : Réductions des endomorphismes 22-04-17 à 19:33

Bonjour jb2017,

Je te remercie encore, j'ai tout compris et jai pu clôturer ces premières parties.. C'est un exercice très long et j'ai encore bcp de questions, j'en ai fais quelques unes, pouvez vous vérifier si elles sont juste ?

Suite et fin de l'exercice :

4. On travaille toujours en dimension n quelconque. On suppose maintenant que A est diagonalisable.
Si λ est une valeur propre de A on note Eλ l'espace propre de A associé à la valeur propre λ.
(a) Montrez que M ∈ V est vecteur propre de GA associé à la valeur propre λ si et seulement si l'image de M est incluse dans Eλ.
(b) En déduire la dimension des espaces propres de GA.
(c) En déduire que χGA = χAn.
5. On considère l'endomorphisme DA de V donné par DA(M) = MA.
(a) Montrez que DA est diagonalisable (resp nilpotent) si et seulement si A est diagonalisable
(resp nilpotente).
(b) En déduire que si A est diagonalisable (resp nilpotente) alors l'endomorphisme de V défini par
M AM − MA est diagonalisable (resp nilpotent).

Ce que j'ai fais :

4.(a) Montrer que si ME(GA) alors GA(M) E(GA)
Soit y GA(M), on sait que si (GA - id)(y)=0 alors yE(GA)
Or on a : (GA - id)(y)=(GA - id)(GA(M))=GA((GA - id)(M))=GA(0)=0

Donc GA(M) E(GA)

Par contre je n'arrive pas à faire la seconde implication .. Des idées ?

(b)D'après la question précédente on a que l'image de M est incluse dans Eλ. Autrement dis GAE(GA) (je ne vois pas quoi déduire de cela)
Et d'après la question 3.(c) GA diagonalisable ssi A diagonalisable et c'est le cas ici.
Et d'après une propriété du cours on a que GA est diagonalisable V = E(GA)   dim(V) = dim (E(GA)) (je ne suis pas sur que l'on peut l'écrire comme cela)  

Posté par
Mathsterminal
re : Réductions des endomorphismes 22-04-17 à 19:35

Bonjour luzak,

Je te remercie pour ta remarque, c'est vrai que ce n'est pas possible j'avais oublié  de faire attention au dimension

Posté par
luzak
re : Réductions des endomorphismes 22-04-17 à 23:57

4.a. On a M\in E_{\lambda}(G_A) \iff G_A(M)=\lambda M\iff AM=\lambda M\iff \mathrm{Im}(M)\subset \ker(A-\lambda I_n)=E_{\lambda}(A).
4.b On voit ainsi que E_{\lambda}(G_A) est isomorphe à \mathcal{L}(V,E_{\lambda}(A)) donc \mathrm{dim}E_{\lambda}(G_A)=\mathrm{dim} V\,\mathrm{dim} (E_{\lambda}(A)).
4.c. A étant diagonalisable, l'espace propre E_{\lambda}(A) a pour dimension \omega(\lambda) ordre de multiplicité de cette valeur propre dansle polynôme caractéristique de A.
Pour chaque valeur propre  \lambda  de A on a vu que \lambda est valeur propre de G_A, la dimension de l'espace propre étant n\omega(\lambda).
On en déduit que le polynôme caractéristique de G_A est celui de A à la puissance n.
5. Les réponses pour D_A se font de manière analogue (on peut aussi remarquer que D_A(M)=G_{A^T}(M^T) )

Enfin, si X_k,\;1\leqslant k\leqslant n est une base de vecteurs propres pour A, soit Z_{i,j},\;1\leqslant i\leqslant n,\;1\leqslant j\leqslant n la base de V associée (plus précisément, Z_{i,j}X_k=\delta_{j,k}X_i   pour tout triplet (i,j,k)).
Il est alors facile de vérifier que la famille Z_{i,j} est une base de vecteurs propres de U_A=G_A-D_A : M\mapsto AM-MA. Quand AX_k=\lambda_k X_k il vient G_A(Z_{i,j})=\lambda_iZ_{i,j},\;D_A(Z_{i,j})=\lambda_jZ_{i,j} donc U_A(Z_{i,j})=(\lambda_i-\lambda_j)Z_{i,j}.

Pour A nilpotent (les valeurs propres sont toutes nulles) il en est de même de G_A,\;D_A,\;U_A

Et on a les réciproques puisque ces applications ont même polynôme minimal.

Posté par
luzak
re : Réductions des endomorphismes 23-04-17 à 08:02

Deux correctifs :
Oubli d'une transposition dans la relation entre D_A,\,G_A.
La phrase sur les réciproques n'est valable que pour D_A,\,G_A. en effet, si A=I_n on a U_A=0.
Cela vient de ce que les valeurs propres de U_A s'obtiennent par différence de deux valeurs propres (toutes les paires) de A.

Posté par
Mathsterminal
re : Réductions des endomorphismes 23-04-17 à 23:32

Bonsoir luzak, je te remercie infiniment pour tes explications
Dernière petite question, tu as dis

luzak @ 22-04-2017 à 23:57

on peut aussi remarquer que D_A(M)=G_{A^T}(M^T) )


Mais que peut on tirer de cela ?
Une matrice diagonalisable à sa transposé diagonalisable ?

Posté par
luzak
re : Réductions des endomorphismes 24-04-17 à 08:25

Oui, car mêmes polynômes annulateurs !
Mais attention à "ma" formule, il manque une transposition...

Posté par
Mathsterminal
re : Réductions des endomorphismes 24-04-17 à 09:10

D'accord, merci !
Oui je l'ai bien pris en compte

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