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Reel: equation avec racine carré

Posté par
Crei
22-10-22 à 18:33

Bonsoir besoin d'aide
On demande de resoudre E

 \left(E \right):\sqrt[]{\frac{x-20}{2002}}+ \sqrt[]{\frac{×-19}{2003}}+ \sqrt[]{\frac{x-18}{2004}}= \sqrt[]{\frac{x-2002}{20}}+ \sqrt[]{\frac{x-2003}{19}}+ \sqrt[]{\frac{x-2004}{18}}

Alors j'ai tenter ainsi
\sqrt[]{\frac{x-20}{2002}}= \sqrt[]{\frac{x-20}{2002}-\frac{x}{20}+\frac{x}{20}}}} pour l'identifier à l'autre cote je pose
\frac{x}{2002}-\frac{x}{20}-\frac{20}{2002}=\frac{2002}{20}
je trouve x=2022
Ensuite j' verifie et ça donne 3=3

Ma question est ce que je peut m'arrêter à l'identification avec un seul radical aussi y'aurait il une autre methode de resolution?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Reel: equation avec racine carré 22-10-22 à 18:56

Bonsoir,
Je n'ai pas bien compris ta méthode.
Cependant, tu as trouvé une solution : 2022.
Pourquoi n'y en aurait-il pas d'autres ?
Pour s'en assurer, on peut utiliser un changement de variable :
x = 2022 + X.
Ce qui revient à X = x-2022.
Il reste à démontrer que X = 0 est la seule solution de la nouvelle équation.

Une remarque :
La première chose à écrire est la condition d'existence des racines carrées.

Posté par
carpediem
re : Reel: equation avec racine carré 22-10-22 à 19:56

salut

je ne sais pas d'où t'est venue cette idée mais si celle-ci te donne une solution en prenant un terme il faudrait peut-être vérifier qu'il n'y ait pas d'autre solution en prenant les autres termes ...

on peut remarquer que 18 + 2004 = 19 + 2003 = 20 + 2002 = 2022

Posté par
carpediem
re : Reel: equation avec racine carré 22-10-22 à 20:04

je pense qu'on peut montrer que la solution est unique en considérant des fonctions ...

Posté par
carpediem
re : Reel: equation avec racine carré 22-10-22 à 20:16

et je poserai peut-être plutôt x = y + 1011 comme changement de variable ... pour faire apparaitre une symétrie

Posté par
alb12
re : Reel: equation avec racine carré 22-10-22 à 20:29

salut,
l'equation s'ecrit a+b+c=0 avec a, b, c 3 reels de meme signe.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Reel: equation avec racine carré 22-10-22 à 20:32

Bonsoir carpediem,
Démontrer que l'unique solution d'une équation est 0 est plus facile que démontrer que l'unique solution d'une autre équation est 1011 me semble-t-il.
Sinon, d'accord pour utiliser des variations de fonctions simples.

Posté par
carpediem
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 09:48

oui bien sûr ...

j'ai proposé mon changement de variable uniquement pour l'idée de symétrie qui peut peut-être apportée des idées ...

sinon on peut remarquer que l'équation s'écrit

\sqrt {\dfrac {x - 20} {2022 - 20}} + \sqrt {\dfrac {x - 19} {2022 - 19}} + \sqrt {\dfrac {x -18} {2022 - 18}} = \sqrt {\dfrac {x - 2002}{2022 - 2002}} + \sqrt {\dfrac {x - 2003}{2022 - 2003}} + \sqrt {\dfrac {x - 2004}{2022 - 2004}}

ce qui montre bien que 2022 est une solution "évidente"  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 11:28

Oui, les termes de gauche sont de la forme \sqrt{\dfrac{x-a}{2022-a}}.
Ceux de droite \sqrt{\dfrac{x-(2022-a)}{a}}.
Tous égaux à 1 quand x = 2022

Pour l'unicité, je reprends l'idée de alb12 :
Avec a = 20, 19 ou 18.
La différence \dfrac{x-a}{2022-a} - \dfrac{x-(2022-a)}{a} est du signe de (2022-x)

Posté par
carpediem
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 12:25

pour l'unicité je m'étais arrêté à :

les radicandes sont des fonctions affines croissantes dont les coefficients sont 1/2002, 1/2003 et 1/2004 à gauche et 1/20, 1/19 et 1/18 à droite

au numérateur des translations qui ne change pas la "quantité" de variation (dérivée = 1)

même en prenant la racine carrée le membre de gauche croit donc plus vite que le membre de droite

donc s'il y a une égalité elle est unique ...

ce me semble-t-il ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 13:33

Citation :
le membre de gauche croit donc plus vite que le membre de droite
Ce ne serait pas plutôt l'inverse ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 14:08

\sqrt {1+\dfrac {x - 2022} {2002}} + \sqrt {1+\dfrac {x - 2022} {2003}} + \sqrt {1+\dfrac {x -2022} {2004}} = \sqrt {1+\dfrac {x - 2022}{20}} + \sqrt {1+\dfrac {x - 2022}{19}} + \sqrt {1+\dfrac {x - 2022}{18}}

Écrit ainsi, c'est peut-être plus clair ?

Posté par
carpediem
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 18:22

oui ...

Posté par
alb12
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 18:45

@Crei
Ton identification du premier post est incorrecte en général
Pourquoi la première racine de gauche serait-elle égale à la première racine de droite ?
De plus il y a une erreur de signe

Posté par
Crei
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 19:03

alb12 @ 23-10-2022 à 18:45

@Crei
Ton identification du premier post est incorrecte en général
Pourquoi la première racine de gauche serait-elle égale à la première racine de droite ?
De plus il y a une erreur de signe
m

J'ai reecrit de sorte qu'il se ressemble et pour que l'egalité soit verifier il fallait que des termes soit nuls
Pas dit egal mais identifier

Posté par
Crei
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 19:07

Sylvieg @ 22-10-2022 à 18:56

Bonsoir,
Je n'ai pas bien compris ta méthode.
Cependant, tu as trouvé une solution : 2022.
Pourquoi n'y en aurait-il pas d'autres ?
Pour s'en assurer, on peut utiliser un changement de variable :
x = 2022 + X.
Ce qui revient à X = x-2022.
Il reste à démontrer que X = 0 est la seule solution de la nouvelle équation.

Une remarque :
La première chose à écrire est la condition d'existence des racines carrées.


Absolument x>=2004

Posté par
Crei
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 19:10

carpediem @ 22-10-2022 à 19:56

salut

je ne sais pas d'où t'est venue cette idée mais si celle-ci te donne une solution en prenant un terme il faudrait peut-être vérifier qu'il n'y ait pas d'autre solution en prenant les autres termes ...

on peut remarquer que 18 + 2004 = 19 + 2003 = 20 + 2002 = 2022


Pour moi j'aurais pu m'arreter à un seul.
En fait.
Par exemple si j'ai une equation du type ax+b=d
Et que je connais une valeur x0 qui verifie l'equation
Puis je directement conclure que c'est la solution?
C'est ce genre de raisonnement je veut faire. Dire que la solution est unique verifier avec un xo et conclur

Posté par
Crei
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 19:16

Merci pour vos contributions

Posté par
carpediem
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 19:16

le pb c'est que tu trouves une solution mais tu n'as pas justifié que c'est la solution (par un argument d'unicité ou de variation par exemple)

dans l'exemple que tu donnes on peut par exemple dire : une fonction affine est strictement monotone ...

Posté par
Crei
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 20:19

carpediem @ 23-10-2022 à 19:16

le pb c'est que tu trouves une solution mais tu n'as pas justifié que c'est la solution (par un argument d'unicité ou de variation par exemple)

dans l'exemple que tu donnes on peut par exemple dire : une fonction affine est strictement monotone ...


Ah d'accord je vois .

Posté par
Crei
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 20:20

carpediem @ 23-10-2022 à 12:25

pour l'unicité je m'étais arrêté à :

les radicandes sont des fonctions affines croissantes dont les coefficients sont 1/2002, 1/2003 et 1/2004 à gauche et 1/20, 1/19 et 1/18 à droite

au numérateur des translations qui ne change pas la "quantité" de variation (dérivée = 1)

même en prenant la racine carrée le membre de gauche croit donc plus vite que le membre de droite

donc s'il y a une égalité elle est unique ...

ce me semble-t-il ...


Est ce là l'argument manquant

Posté par
alb12
re : Reel: equation avec racine carré 23-10-22 à 20:44

"J'ai reecrit de sorte qu'il se ressemble et pour que l'egalité soit verifier il fallait que des termes soit nuls
Pas dit egal mais identifier"
tu as ecrit egal pour trouver 2022 il me semble
cette methode est en general fausse.

je rappelle mon idee
l'equation est a+b+c=a'+b'+c'
ou (a'-a)+(b'-b)+(c'-c)=0
or les signes des expressions entre les parentheses sont faciles à etudier

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Reel: equation avec racine carré 24-10-22 à 09:35

Oui, et il n'est pas nécessaire d'utiliser des sens de variation :
Avec X = x-2022, l'équation s'écrit

\sqrt {1+\dfrac {X} {2002}} + \sqrt {1+\dfrac {X} {2003}} + \sqrt {1+\dfrac {X} {2004}} = \sqrt {1+\dfrac {X}{20}} + \sqrt {1+\dfrac {X}{19}} + \sqrt {1+\dfrac {X}{18}}

Si X > 0, tous les termes de gauche sont inférieurs stricts à tous les termes de droite.
Si X < 0, tous les termes de gauche sont supérieurs stricts à tous les termes de droite.



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