Or dans les démonstrations officielles on « parachute » la fonction suivante :

phi(x) = f(x) - [  ( (f(b) - (f(a)) (x -a ) )  (b-a) + f(a) ] qui donne aussi phi(a) = phi(b) mais qui est beaucoup moins naturelle à trouver soi même

Ma question c'est pourquoi introduit on cette fonction particulièrement alors qu'elle est beaucoup mois naturelle ?

Je trouve ta fonction beaucoup moins naturelle. La forme est certes plus simple, c'est f(x) - (taux d'accroissement) * x, mais le calcul de phi(a) et phi(b) est beaucoup plus difficile à faire de tête que dans celle que tu qualifies de parachutée


Pour la retenir, c'est simple

1) soit tu sors la sulfateuse et tu poses phi(x) = f(x) - (ux + v) et tu trouves les valeurs de u et v telles que phi(a) = phi(b) = 0.
Ca revient à résoudre un système f(a) = ua + v et f(b) = ub + v. Tu fais la différence des deux équations pour trouver u et tu en déduis v en réinjectant, par exemple.

2) soit tu retiens ce petit truc : il s'agit d'une interpolation convexe toute bête entre f(a) et f(b)!
Dans la défiition d'une fonction convexe, tu as toujours une forme u * (1-t) + v * t = u + t * (v-u), de sorte que cette expression vaille u en 0 et v en 1.

Cela se généralise à un intervalle [a,b] sans peine, il suffit de remplacer t par (t -a)/(b-a), dont la valeur se promène bien entre 0 et 1 quand t est entre a et b.
Si on prend u = f(a) et v = f(b), cette expression devient f(a) + (t -a)/(b-a) * [f(b) - f(a)].

Sans avoir à réfléchir, tu sais que cette expression vaut u = f(a) en t = a et v = f(b) en t = b. Autrement dit, elle coincide avec f aux points a et b. Comme elle est C-infini (affine), la retirer à f ne change pas sa régularité, mais produit une fonction qui s'annule à la fois en a et en b, et c'est ça que tu cherches pour phi.


3) tu retiens cet autre truc : on note le taux d'accroissement de la fonction g par rapport à u, c'est à dire la fonction définie par

Alors la fonction est constante égale à sur ]a,b]

Salut,

en plus de l'excellente réponse de Ulmiere, je propose une moins bonne réponse car je n'ai pas vérifié sur la fonction que tu donnes (celle que tu trouves moins naturelle) coïncide avec celle que je pense.

Si tu dessines le graphe d'une fonction à la main (vraiment au pif), que tu prends deux points (a,f(a)) et (b,f(b)) et que tu traces la droite affine passant par ces deux points (le taux d'accroissement moyen), alors tu peux appliquer Rolle à la fonction "différence" qui consiste à soustraire de f(c) l'ordonnée du point situé sur la droite affine ayant pour abscisse c (pour acb). C'est toujours comme ça que je retenais la formule moche de mon cours en première année avant de voir l'interpolation convexe dont Ulmière parle plus tard dans mes études. Si je me trompe pas, cette fonction a l'expression que tu n'aimes pas trop.

à laquelle je pense *

désolé pour le triple post, mais je ne peux pas laisser passer ces fautes...

Bonsoir à tous,

Je vous remercie tous pour vos réponses. Je les lis et je vous fait un petit retour

Il semblerait qu'ai peu être mieux compris le théorème de Rolle mieux que l'accroissement fini. Bref je regarderai et méditerai sur vos  réponses demain

Merci à vous d'avoi pris le temps

salut

Bonjour !
Ce serait encore plus naturel de dire qu'on utilise l'approximation de Lagrange :

Bonsoir à vous,

Je viens de vous lire.

Effectivement ma méthode fonctionne.

La méthode plus officielle semble apporter des considérations géométriques en plus.

Néanmoins pour un élève qui n'aurait jamais vu cette démonstration et qui ne souhaiterait pas la retenir par cœur (je déconseille d'apprendre bêtement une démo) je me demande l'utilité d'une telle forme ? Cette forme est elle utile et ré utilisable dans d'autres résultats important en Analyse ?

Luzac, peux tu développer sur l'interpolation de Lagrange ?

* approximation de Lagrange

Néanmoins le théorème des accroissements finis n'est que l'écriture du théorème de Taylor - Lagrange à l'ordre n = 0 ; d'ailleurs je retiens le théorème de Taylor Lagrange en partant d'abord sur l'égalité des accroissements finis (moyen mnémotechnique)


Par ailleurs je ne sais pas si c'est ce que tu voulais dire quand tu parlais d'approximation de Lagrange ou si tu parlais d'autre chose ?