Niveau Maths sup

relation avec integrale

Posté par jacko78 (invité) 11-04-05 à 19:59

Bonjour, voila j'ai un souci avec une question que j'ai beau tourner dans tous les sens et que je ne parviens pas a trouver, pouvez vous m'aider svp ?

Soit $\Phi(x)=\Bigint_0^x e^{\frac{-u^2}{2}} du$

La question est : $\textrm Pour x>0, exprimer \Bigint_0^1 e^{\frac{-xt^2}{2}} dt a l'aide de la fonction \Phi$ .

Voila c'est peut etre simple mais moi je ne vois reellement pas...
Merci d'avance pour votre aide
J78

Posté par jacko78 (invité)re : relation avec integrale 11-04-05 à 22:48

S'il vous plait est ce seulement possible ou dois je croire a une erreur d'énoncé ?

Posté par re : relation avec integrale 11-04-05 à 23:14

Bonsoir jacko78,

Soit $x>0$

posons $u=\sqrt{x}t$

$du=\sqrt{x}dt$ donc $dt=\frac{1}{\sqrt{x}}du$

$3$\rm\Bigint_0^1 e^{-\frac{xt^2}{2}}dt=\Bigint_0^{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{x}}\times e^{-\frac{u^2}{2}}du=\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigint_0^{\sqrt{x}} e^{-\frac{u^2}{2}}du$

or $3$\rm\Bigint_0^{\sqrt{x}} e^{-\frac{u^2}{2}}du=\Phi (\sqrt{x})$

donc à priori :

$5$\rm\blue\fbox{\Bigint_0^1 e^{-\frac{xt^2}{2}}dt=\frac{\Phi (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}}$

Salut

Posté par jacko78 (invité)re : relation avec integrale 12-04-05 à 18:17

j'ai verifié avec plusieurs valeurs et ca semble fonctionner mais cela me semble tout de meme bien compliqué, en tout cas merci...

Posté par jacko78 (invité)re : relation avec integrale 12-04-05 à 18:22

Pourrais tu m'expliquer pourquoi racine de x apparait dans la borne superieure de l'integrale par rapport a u? (En fait dans la premiere egalité de ta prmiere ligne ou il y a du calcul sur les integrales)
Merci

Posté par re : relation avec integrale 12-04-05 à 21:25

re,

c'est du au changement de variable :

au début on intègre sur $[0;1]$

quand $t=0$ alors $u=\sqrt{x}\times 0=0$
quand $t=1$ alors $u=\sqrt{x}\times 1=\sqrt{x}$

par conséquent les bornes de l'intégrale initiale (de 0 à 1) sont transformé (via ce changement de variable) en les bornes de l'intégrale finale (de 0 à $\sqrt{x}$ )

Salut

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