@Sky

Je pensais qu'il y avait négation mais en fait non.

Par contre la symétrie c'est :

:  ou

Le contraire c'est :

:   et  

Donc je retrouve pas la définition de l'antisymétrie...

Pourquoi compliquer les choses ?

Une relation binaire est un symbole de proposition logique binaire (à deux arguments), comme .
On peut ensuite préciser si elle s'applique à un ensemble précis E, pour ensuite parler de réflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité (relativement à cet ensemble E).

Ainsi une relation (binaire) est un objet beaucoup plus fondamental qu'un ensemble, c'est un symbole logique !
Dans une certaine mesure, on peut faire correspondre ce concept de relation binaire à des ensembles. Au moyen d'un graphe par exemple, une relation binaire peut être identifiée (au sens où l'un permet de définir l'autre, et inversement) à un sous-ensemble de (les couples vérifiant la relation forment un graphe, la proposition obtenue quand un couple appartient à un certain sous-ensemble de définit la relation recherchée).

Mais on peut aussi faire correspondre les entiers 0 et 1 à "vrai" et "faux", dès lors il est possible de définir une relation à partir d'une fonction de dans et réciproquement (c.f. le message de ThierryPoma ).

Bonsoir tout le monde,

@Carpi : Ta fonction, ou devrais-je dire ton application, n'est en aucun cas une relation binaire, vu qu'il ne s'agit pas d'une relation. En effet, ton application, tout comme toute correspondance où est un graphe (qui n'est pas nécessairement fonctionnel au sens bourbakiste), est un terme de la théorie dans laquelle l'on se place.

La définition du début de ce fil est méta-mathématiquement erronée.

Je pense que le moment est venu de cadrer les choses et d'appeler un chat un chat.
On se souvient, pour la plupart d'entre nous, de la notion de relation collectivisante.

Si R est une relation (qui peut être plus ou moins complexe), et x une lettre, figurant ou non dans R, alors R est dite collectivisante en x si la relation est un théorème de la théorie considérée.

Autrement dit, pour R[x], considérée comme relation en x, il existe un objet ( ou ensemble, ou terme) y, tel que R[x] soit logiquement équivalente à et ce, pour tout x.

On a bien d'un coté une relation R et de l'autre un ensemble, généré par R, et qui dépend de la lettre considérée dans R. Et à ce niveau, personne n'ira dire qu'une relation collectivisante est un ensemble. On ne trouve nulle part un définition comme "On dit appelle relation collectivisante, tout ensemble E"

Alors pourquoi diable traîne-t-il donc dans la littérature cette définition : "on appelle relation binaire sur un ensemble E, toute partie de E x E" ? ou encore celle de ce fil : "On appelle relation binaire sur E toute application de dans ".

La confusion, qui n'est pas faite dans le premier cas, est faite dans le second. Absurde !!!

La notion de relation binaire n'est rien d'autre que celle de relation collectivisante, mais adaptée à des relations dans lesquelles on considère deux lettres x et y.

Ainsi, considérons une relation R[x,y] dans laquelle on s'intéresse particulièrement aux lettres x et y.

Alors R, vue comme relation en les lettres x et y, sera dite binaire, si la relation est un théorème de la théorie considérée.

Cette fois, l'ensemble généré, z, est un ensemble de couples, c'est-à-dire, par définition, un graphe. Par conséquent, il existe un ensemble E tel que . On peut prendre, par exemple, pour E, l'ensemble (où pr1 et pr2 désignent respectivement les première et seconde projection d'un graphe)

On peut alors reformuler la notion de relation binaire à la façon d'une relation collectivisante comme ceci :

R est binaire en x et y si est un théorème de la théorie considérée.

On part donc bien d'une relation R et si on montre qu'il existe un ensemble E et une partie A de E x E telle que R soit logiquement équivalente à , on dira que R est binaire sur E.

Partant, on peut effectivement formuler ce gros abus de langage "on appelle relation binaire sur un ensemble E, toute partie de E x E".

Formulée ainsi, cette définition est, hélas, l'arbre qui cache la forêt et qui une fois de plus, sème la confusion dans la tête de pas mal de monde, y compris dans le monde enseignant.

Une partie A de E x E, qui est un ensemble, et plus précisément, un graphe, est assimilée à une relation : raccourci que l'on n'explique pas ! Première erreur.

Ensuite, le graphe en question n'est pas nécessairement fonctionnel : on ne le dit pas non plus ! Seconde erreur.

Ensuite, on mélange la notion de "relation", qui est du domaine de la logique, avec celle, essentiellement mathématique, de "terme" ou "ensemble" : troisième erreur.

Il n'en faut pas plus pour raconter n'importe quoi !!

Si on a une partie A de E x E, tout ce que l'on peut dire, c'est que A est générée par la relation binaire R suivante : .

Mais comme les programmes n'enseignent plus la notion de "relation" et qu'il faut pourtant bien en parler, alors on biaise par cette définition absconse en soi : "on appelle relation binaire sur un ensemble E, toute partie de E x E" ... allez débrouille toi pour comprendre que derrière ça, il y a toute une machinerie qu'on t'expliquera jamais.

Les "prôôgrammes" auraient pu avoir au moins l'honnêteté de présenter les choses comme ceci :

Soit R[x;y] une relation entre les lettre x et y.
On dit que R est binaire s'il existe un ensemble E et une partie A de E x E telle que R soit équivalente à .

Après, on peut pousser la définition suivante :

Soient R une relation, E un ensemble.
On dit que R est une relation binaire sur E si il existe une partie A de E x E telle que R soit équivalente à .

ou présentation équivalente mais qui, surtout, ne confond pas "relation" et "ensemble".

Partant de cette définition, on a ou si l'on préfère .

Si tout ceci est clair, alors oui, la définition absconse en abus de langage est adoptable, mais pas avant.

Après, on embraye sur les notions de réflexivité, transitivité, symétrie, ordre, préordre, équivalence etc etc mais ça, c'est un autre débat.

ouais ... tout cela est bien formel (mais exact)

je dis simplement que une fonction    est une relation binaire ...

est aussi une bonne interprétation aussi ... guère utilisée bien sur mais possible

on a alors f(x) = cl(x) (la classe de x : ensemble des éléments y de E tels que x R y)

et ça convient ... même si ça n'est guère pratique éventuellement ...


je me souviens des relations collectivisantes ... plus ou moins ...

Oui, je suis d'accord que c'est bien formel. Mais bon, après, c'est comme la cire dure, il faut la ramollir pour pouvoir l'utiliser (la ramollir, pas la liquéfier et encore moins la dissoudre ... ).

Mais ce que je dis simplement, c'est qu'une fois le formalisme bien posé, on sait de quoi on parle et on peut être plus souple sur les définitions.

Bien que l'exemple que tu donnes s'éloigne encore plus du formalisme, je l'aime bien.

1- On se donne une relation binaire R sur E;
     2- R engendre une partie A de E x E (A est donc un graphe)
          3-  On fabrique une application engendrée par R, E et A, savoir

L'application f est l'ensemble des coupes de A suivant les éléments de E. On note aussi (Bourbaki E II.11 Définition 4)

Évidemment, à partir des coupes d'un graphes G inclus dans E x E, on peut remonter à une relation binaire sur E.