Bonsoir,
On dit qu'un ensemble est dit subpotent à un ensemble
, s'il existe une injection de
dans
.
On donne et
deux ensembles tous deux non vides.
Existe -t-il une relation d'équivalence sur
telle que
soit subpotent à
?
Une relation d'équivalence sur un ensemble E est une relation binaire ~ sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.
Donc on suppose que notre relation vérifie :
* Tout élément de est
relié à lui-même c'est-à-dire que
.
* La relation vérifie
(ou encore, si elle est égale à sa relation réciproque.)
* La relation vérifie également
Je ne vois pas comment vérifier s'il existe ou pas une relation d'équivalence sur
telle que
soit subpotent à
...
Enfin j'essaie de visionner un transport de structure, histoire de morphisme et tout (peut-être faire de façon analogique. mais bon..), mais je ne vois pas grand chose.
Merci d'avance.
salut
je ne comprends pas ce prime à R ...
tu peux vérifier que pour tout fonction f de X dans Z la relation x R y <=> f(x)= f(y) est une relation d'équivalence
il suffit alors de prendre pour f une fonction constante ...
Dit plus simplement, tu peux prendre pour la relation d'égalité, qui est bien une relation d'équivalence, et est telle que
est un singleton.
Mais il manque la fin de l'exercice!
Pourquoi existe-t-il une injection de A dans Y ?
Salut Ulmiere, la suite de l'exo ?
Pourquoi existe-t-il une injection.. ?
L'idée ici était de regrouper tous les éléments de l'ensemble de départ E qui ont la même image dans l'ensemble d'arrivée F par la fonction f de E dans F.
On crée ainsi une classe d'équivalence telle que deux éléments sont dans la même classe s'ils ont la même image.
Et c'est bien ce que nous suggère carpediem, lorsqu'il écrit
L'égalité (=) étant la relation d'équivalence la plus élémentaire dans un ensemble, on comprends qu'il Il existe au moins une relation d'équivalence telle que chaque élément de l'ensemble d'arrivée F possède au plus un antécédent par la fonction f de E dans F. (Si vous remplacez
par =).
Rappel : On dit qu'un ensemble est dit subpotent à un ensemble
, s'il existe une injection de
dans
.
Oui d'accord, tu quotientes par le noyau, mais ça ne répond pas à la question.
Par exemple, si X et Y sont finis et Card(X) > Card(Y) et que je prends définie par
(correspond à
), Alors chaque élément est dans sa propre classe, donc Card
= Card(X) > Card(Y)
Donc il ne peut pas exister d'injection de , pour ce choix de
.
Si on prend (un meilleur nom serait
, pour cette surjection) constante, il se trouve que oui,
s'injecte dans Y, mais ce que je te demande de montrer, c'est pourquoi une telle injection existe bel et bien.
En clair, construis-moi cette injection ! (C'est très simple hein, il y a juste un petit fait dont je veux m'assurer que tu as compris l'existence)
Pour une fonction constante de
dans
,
est toujours injective.
On regarde toujours si la constante existe ou pas de l'ensemble de départ avant de tâcher de voir s'il a un correspondant dans l'ensemble d'arrivée
. Prenons :
et
Toutes les fonctions constantes de sont des injections.
Oups, j'ai mal construire l'injection..
Quel que soit le nombre en entrée d'une fonction constante, la sortie est toujours la même.
et
Mais là on a l'impression que c'est pas vrai du tout..
Attention, est une relation entre deux points de X. f est une fonction quelconque, définie sur X et à valeurs dans n'importe quel ensemble de ton choix. Il n'y a aucune raison que ce soit X ou Y, et il n'y a aucune raison que f soit injective. Si f est constante, elle est effectivement surjective, mais pas forcément injective.
Notre injection, on ne veut pas qu'elle soit de X dans Y, mais de X/R dans Y ! C'est pas f qui doit être injective, mais un autre fonction construite à l'aide de f, appelons-la , définir sur X/R et à valeurs dans Y.
j'ai introduit un ensemble Z à 20h20 mais nul besoin de quoi que ce soit avec l'énoncé :
l'ensemble des partitions de
, tel que deux éléments
et
sont dans la même partitions ssi
ou encore (
et
vérifient
la relation d'équivalence définie par :
).
Imaginons une application quelconque entre l'ensemble de départ
et l'ensemble d'arrivée
. Une application étant une fonction qui est définie partout,
Ce que tu veux, c'est
Et ton injection
Elle est à valeurs dans f(X), qu'on peut choisir comme étant un sous-ensemble de Y si on veut.
Mais ce que j'essaie de te faire dire depuis le début (et que carpediem t'a balancé ), c'est que l'injection définie ci-dessus ne peut en être une que parce que Y est non-vides.
Si Y était vide par exemple, tu ne pourrais pas définir de fonction constante à valeurs dans Y pour définir . Le fait que f(X) ait au moins un élément est ce qui permet d'y injecter
, qui est de cardinal
.
Si X était vide, tu ne pourrais qu'avoir et donc une injection automatique de
dans Y, mais ça n'est pas très intéressant
et la réponse de matheux14 est plus du verbiage qu'autre chose ...
tu nous récites beaucoup de définitions qui n'apporte pas grand chose et le reste est peu clair ...
on a tout simplement que X/R = {X}
soit le singleton contenant (l'ensemble) X qui est la seule et unique classe d'équivalence pour la relation R
et puisque donc
la fonction
est trivialement injective du fait que son domaine est un singleton
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