Bonsoir Lagrange

Pour la 1), je te conseille de réécrire l'égalité imposée sous la forme .

Pour la 2) :

Si f et g sont deux fonctions équivalentes, que peut-on dire de f si g est injective ?

Kaiser

Bonsoir Kaiser,

Merci d'abord d'avoir répondu.

Si g est injective, alors g o l'est aussi, donc o f donc f est injective. Mais le fait que f soit injective peut-il servir en quoi? Car il me semblait que pour la 2), il fallait trouver un qui remplissait les conditions afin que la relation puisse être validée...
Et comment montrer qu'aucun ne puisse correspondre ? Quelque chose m'échappe dans tout ça.
J'aurais tendance à vouloir dire que pour sh et ch, la relation d'équivalence est possible du fait de leur bijectivité sur , mais que pour cos et sin ce n'est pas le cas. Mais de là à le justifier correctement, j'ai du mal à voir!
(en plus, le temps me manque cruellement, l'échéance approchant dangeureusement)

Merci de votre aide !

PS :

Bonsoir Lagrange

La fonction ch, bijective sur ? En es-tu sûr ?

Kaiser

Whoooooooups, je revenais justement ici car il me semblait bien avoir écrit une belle ânerie...
Evidemment, ch n'est pas bijective sur mais bien sur ⁺ ou ^-.
Et par là même, elle n'est pas injective... or la relation suppose f injective si g (ici sh) l'est...
Donc on n'a pas ch R sh !
Merci beaucoup Kaiser !

Reste à voir pour le cas de cos et sin.

Par exemple, sur [-: + ] sinus est injectif mais pas cosinus, donc il suffirait d'appliquer simplement le même raisonnement que précédement?

Je voulais écrire : sur [ ' / 2 ; + /2 ] , désolé pour la mauvaise utilisation des balises...

Une précision : dans l'énoncé, tu dis que .
Faute de frappe ou pas ? parce que sur ce coup-là, je n'ai pas compris le définition de E.

Kaiser

Non, c'est bien ce qui est écrit, et moi-même je reconnais avoir du mal à saisir pourquoi on définit E ainsi...

Du coup, moi non plus je ne comprends rien !!
On a des applications qui sont en fait des éléments de , donc...

Kaiser

Encore merci Kaiser pour le temps que tu passes là-dessus.

Ceci (la constatation faite dans le post précédent) est en effet fort embêtant.
Mais, s'il l'on fait abstraction de cette définition de E, n'y a-t-il donc pas d'autre moyen de s'en sortir ?
Et puis, pour la 3 non plus? N'y a-t-il donc pas une petite astuce pour y parvenir?

Merci pour les réponses.

En fait, on va supposer (et je pense que c'est le cas) que E est tout simplement l'ensemble des fonctions de dans .
Je continue à réfléchir à ton problème.

Kaiser

J'ai continué à regarder mais je ne parviens pas à résoudre la question et je ne suis pas sûr que ton argument sur l'injectivité marche parce que tu ne considère que des restrictions, alors que dans la question avec ch et sh, on avait affaire à une fonction injective sur .
Mais bon, je ne laisse pas tomber pour autant !

Kaiser

Finalement ton idée marche quand même.
Je vais montrer que les fonctions cosinus et sinus ne sont pas équivalentes en raisonnant par l'absurde.

Je suppose qu'une telle application existe.
Ainsi, on a pour tout réel x,
D'abord, je vais montrer que dans ce cas, on a

Soit x dans [-1,1], alors x s'écrit pour un certain réel y.

Alors .

D'où

Montrons l'inclusion inverse.
Soit donc x appartenant à [-1,1], alors x s'écrit pour un certain réel y.

Par ailleurs, étant bijective, elle est surjective et donc y s'écrit pour un certain t.

Ainsi, car cos(t) est dans [-1,1],

d'où

Finalement, on a

En montrant ceci, on peut enfin utiliser ce que tu proposait.
Pour tout x appartenant à [-1,1], on a :



Comme envoie [-1,1] dans [-1,1], que et que la fonction sinus est injective sur cet intervalle, la fonction est injective sur [-1,1]. ceci est absurde car la fonction cosinus n'est pas injective (par exemple cos(1)=cos(-1)).
Ainsi, les fonctions cosinus et sinus ne sont pas équivalentes.

Kaiser

C'est très aimable à toi Kaiser de t'attarder sur ce problème !
Et en effet, j'ai des doutes sur ce que j'ai pu écrire sur le cosinus, pour les raisons que tu évoques, mais à défaut de mieux, je ne vois pas quelle autre option considérer.

Oups, désolé pour ce dernier post qui n'aurait pas lieu d'être, le temps de m'absenter 1/4 h pendant que je le rédigeais, et tu m'apportais la réponse !
Et cela me semble plutôt très bien trouvé, je t'en remercie vraiment ! J'apprécie sincérement le mal que tu te donnes en consacrant une partie de ton temps à répondre à ce genre de question, c'est très sympa de ta part !

Je t'en prie !
Par contre, pour l'autre question, je ne vois pas trop !

Kaiser

J'ai réussi à finalement obtenir un sursis pour cet exo, donc je souhaiterais savoir si d'autres parmi vous seraient susceptibles de pouvoir m'aider pour la question 3) de l'exercice posté tout en haut du topic ?
Merci d'avance de votre aide.

Manifestement, pour la 3), l'injection ne sert à rien...
La surjection aurait-elle alors quelque chose à voir là-dedans?

Bonsoir Lagrange

Je pense avoir trouvé et il faut effectivement utiliser, entre autre, la surjectivité d'une telle application .
Essaie d'utiliser la surjectivité de cette application aux points 0 et 1.

Kaiser

Bonsoir Kaiser,

On a donc :
f(0)=0      f(1)=1
g(0)=q     g(1)=1 + p + q

Alors :
(0) = g o (0)
(1) = g o (1)

Or, comme est bijective donc surjective, on en déduit que g est surjective en 0 et en 1.
Mais quels que soient p et q, g est toujours surjective... Ce qui a priori (mais je pense bien qu'il y a une raison à ce raisonnement), ne me permet pas de poser de CNS sur p et q.
Pour l'instant, je ne parviens pas à voir où l'on peut en venir avec cela...

Ce n'était pas vraiment ce à quoi je faisais allusion.
Je disais d'utiliser la surjectivité de aux points 0 et 1, c'est-à-dire qu'il existe des réels a et b tels que et .

De plus, je te conseille d'utiliser la relation d'équivalence dans l'autre sens, c'est-à-dire de supposer que cette fonction vérifie .

Il me semble que c'est plus simple comme ça.

Kaiser

Bonjour
J'ai une solution pour 3) qui finalement n'utilise aucune des subtilités relatives aux points fixes où aux propriétés de la conjugaison.

Je suppose donc qu'il y a une fonction telle que (désolée kaiser)
(x²)=((x))²+p(x)+q.
Alors (x) et (-x) sont racines du polynôme
X²+pX+q-(x²) d'où il résulte que
(x)+(-x)=-p et (x)(-x)=q-(x²). En faisant x=0 on trouve la relation NECESSAIRE



Pour la réciproque, en supposant cette relation vérifiée, on vérifie que la fonction (x)=x-p/2 convient.
Décevant, non?

Ah oui, effectivement, ça en serait presque dommage que ce soit ainsi

En tout cas, bravo et un grand merci à toi Camélia qui m'a permis de conclure cet exercice !

Quant à toi Kaiser, merci beaucoup de m'avoir fait avancer jusque là, tu fus d'une grande aide !

Salut à tous