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Relation de comparaison
Soit f : [0, +∞[ → R une fonction vérifant
∀x ∈ [0, +∞[,
f (x)e^(f (x)) = x.
1) Montrer que f est strictement croissante.
2) Montrer que f (x) > 0 pour tout x > 0.
3) Étude de f en +∞.
a) Montrer que f tend vers +∞ en +∞.
b) Montrer que f (x) ∼ ln(x) en +∞.
Bonjour, je bloque à la question 3)b. Avec l'égalité donner dans l'énoncé et des questions précédente on a f(x)/x --> +infini quand x tend vers + infini. Or si on applique ln on a f(x) = ln(x) - ln(f(x)). Avec ce que j'ai dit avant peut on directement conclure que ln(f(x)) est négligeable devant ln(x) ?
salut
je ne comprends pas comment tu trouves que f(x)/x --> +oo
puisque pour x > 0 d'après 3a/
en prenant le logarithme on obtient : donc en divisant par f(x) qui n'est pas nul à partir d'un certain rang d'après 3a/ on en déduit que :
or le premier quotient tend vers 0 par croissance comparée ...
Je voulais effectivement écrire f(x)/x tend vers 0,et la question est justement est-ce que je peux ainsi conclure que ln(f(x))/ln(x) tend vers 0 pour avoir f(x) = ln(x) + o(ln(x))
Ah oui je n'avais pas lu jusqu'au bout on a bien ln(x)/f(x) --> 1. Merci beaucoup. Je bloque juste encore pour montrer que f est dérivable dans la 1ère question. Je ne vois vraiment pas, peut être que je pourrais utiliser des propriétés du cours, en trouvant une réciproque de f. Peux tu me donner une piste ?
Bonjour,
nulle part on ne parle de dérivabilité ...
a < b 
eA < B
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