Bonjour,

C'est mon tout premier post et j'ai besoin de votre aide pour résoudre un exercice préparatif à mes futurs cours de mécanique quantique.
Voici la source de mon problème.

On considère les fonctions de dans et mieux de dans   définit par:
             
f=|f>: x |==> f(x)
rapidement décroissantes. Sur cet espace, on définit le produit scalaire:
<f|g>= ( avec f*(x) le conjugué de f(x) )
On considère également les généralisations de |> tel que
:
      
où est la fonction de Dirac.

a) Montrer que pour une fonction f continue: <x|f>=f(x) et interpréter ce résultat.

b) On généralise l'opérateur position X par X|f> tel que :
===>
x =====> (Xf)(x) = xf(x)
Montrer que les fonctions = |x> sont les vecteurs propres de X:
                                        X|x> = x|x>
Montrer que X est hermitique.
Calculer <x|y> pour x différent de y.

c)En se servant de :
,
f(x)=
pour des fonctions lisses.
Montrer que l'opérateur identité agissant sur les fonctions f (=|f>) peut se réécrire:
1= |y><y| (relation de fermeture).

d) On définit également l'opérateur D de dérivation par (Df)(x) = <x|D|f> = f'(x)
Montrer que l'opérateur -iD est hermitique.
Calculer <x|D|y>
On définit les vecteurs propres de -iD par:
                             -iD|k>
En insérant une relation de fermeture dans l'expression <y|-iD|k>, trouver une équation différentielle vérifiée par la fonction (y)=<y|k>
La résoudre et en déduire <y|k>.
En déduire ce que vaut l'opérateur A =

e)Calculer la norme de |x> et de |k>
f)On pose f(x)= <x|f> et g(k)= <k|f>. Exprimer g(k) en fonction de f(x).

Merci d'avance!