Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre TrigonométrieTopics traitant de trigonométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

rélation de fonction trigonométriques

Posté par
Justin 31-10-06 à 11:39

Bonjour,

Pouriez-vous me donner des indices quand à la démonstration que :
\sum_{k=0}^n\sin{k\theta} = \frac{\cos{\frac{1}{2}\theta}-\cos{(n+\frac{1}{2})\theta}}{2\sin{\frac{1}{2}\theta}} ?

Par exemple, quels outils ai-je besoin?

Merci!

Posté par
Roulianere : rélation de fonction trigonométriques 31-10-06 à 11:41

Bonjour,

Tu as juste besoin de l'exponentielle

Posté par
Roulianere : rélation de fonction trigonométriques 31-10-06 à 11:41

et de la somme d'une suite géométrique

Posté par
Justinre : rélation de fonction trigonométriques 31-10-06 à 11:49

génial,

merci

Posté par
Justinre : rélation de fonction trigonométriques 01-11-06 à 04:31

J'ai passé un peu de temps sur ce problème mais je n'y arrive toujours pas... Est-ce que les toutes premières étapes sont bonnes?

\sin(k\theta)=\Im{(e^{ik\theta})}\Rightarrow\sum_{k=0}^n\sin{k\theta}=\sum_{k=0}^n\Im{(e^{ik\theta})}=\Im{(\sum_{k=0}^ne^{ik\theta})}=\Im{(\frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}})}

Merci.

Posté par
Roulianere : rélation de fonction trigonométriques 01-11-06 à 10:48

Oui, c'est ça, pour l'instant c'est la bonne démarche

Posté par
Roulianere : rélation de fonction trigonométriques 01-11-06 à 10:51

Ensuite, mets 3$e^{i\frac{(n+1)\theta}{2}} en facteur au numérateur et 3$e^{i\frac{\theta}{2}} en facteur au dénominateur, le but étant de faire apparaitre du cosinus ou du sinus ( via les formules d'Euler )

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : rélation de fonction trigonométriques 01-11-06 à 15:02

Bonjour,

Une méthode directe alternative est également proposée ici :
https://www.ilemaths.net/sujet-somme-de-sinus-95947.html

Nicolas

Posté par
Justinre : rélation de fonction trigonométriques 02-11-06 à 10:14

=\Im{(\frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}})}=\Im(\frac{e^{\frac{i(n+1)\theta}{2}}(e^{\frac{-i(n+1)\theta}{2}}-e^{\frac{i(n+1)\theta}{2}})}{e^{\frac{i\theta}{2}}(e^{\frac{-i\theta}{2}}-e^{\frac{i\theta}{2}})})=\Im(\frac{e^{\frac{i(n+1)\theta}{2}}(-2i\sin{\frac{(n+2)\theta}{2}})}{e^{\frac{i\theta}{2}}(-2i\sin{\frac{1}{2}\theta})})=\Im(\frac{e^{\frac{i(n)\theta}{2}}(\sin{\frac{(n+2)\theta}{2}})}{\sin{\frac{1}{2}\theta}})=\frac{\sin{\frac{n}{2}\theta}\sin{\frac{(n+2)\theta}{2}}}{\sin{\frac{1}{2}\theta}}

Comment arriver de cette dernière expression à l'expression voulue sans trop d'encombre?

Merci à Rouliane pour ses indications et à Nicolas pour sa méthode alternative.

Posté par
Roulianere : rélation de fonction trigonométriques 02-11-06 à 10:39

au numérateur tu dois avoir n+1 à la place de n+2, non ?

Il te reste à utiliser au numérateur :  sin(a) * sin(b) = 1/2 × (cos(a-b) - cos(a+b))


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1760 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !