bien sur, cela vien "tous betement" du fait que (n+1)²-n² = 2n+1

du coup, ba la somme des 2k+1 de k=0 a n sa fait ((n+1)²-n²)+(n²-(n-1)²)+...+(1²-O²)

et les therme s'en vont deux a deux, il ne reste que le premier et le dernie : (n+1)²-0² =(n+1)²


on peut aussi l'obtenir par recurence, toujour en utilisant que (n+1)²= n²+2n+1

Merci Ksilver!

Maintenant,est-ec qu'on peut en déduire que :
Le nombre est toujours "somme" de deux entiers consécutifs?..Merci

Bonsoir sambgoree

Cet entier est pair donc il ne peut pas être somme de deux entiers consécutifs.

Kaiser

Excusez moi, est toujours "produit de deux entirs consécutifs?...Merci

Bonjour sambgoree ta somme vaut 2*(n*(n+1))/2=n(n+1) donc la reponse est oui.

Heu...d'accord,Mais par quelle méthode svp?

Ah oui,...ça marche...Merci encore à tous!!

Salut !

si sa t'interesse : quand tu a une somme de k=1 a n d'un polynome en k de degreé
(genre, k² de degré 2, 2*k+1, ou 2k de degrée 1 etc...) on peut montrer (en algebre lineaire) que cette somme est egal a un polynome en n de degré p+1

par exemple, comme tu la remarqué :
-somme des k de 0 a n = n*(n+1)/2
-somme des (2*k+1) de 0 a n = (n+1)²

mais on a aussi :

somme des k² de 0 a n =n^3/3+n²/2+n/6

etc...


pour trouver ces resultat le plus simple est de procedé comme sa :

on a par exemple, une somme de P(k) de k=1 a n, on sait que c'est un polynome de degré p+1, on ecrit donc
somme de p(k) de k=1 a n= a0*x^(p+1)+a1*x^p+...+a(p+1)=Q(x)

et on ecrit ecrit Q(x+1)-Q(x)=P(x)

on develope Q(x+1)-Q(x) en un polynome (qui sera de degré p car les therme en x^(p+1) vont s'eliminer) et on "identifie" cela a P... (ie les polynomes etant egaux, tous leur coeficient sont egaux)

sa va nous donner un systeme de k equation (lineaire) a k inconnu, qui va nous permettre de calculer tous les coeficient de Q exepté a(k+1).

enfin on determine a(k+1) en comprant Q(0) ou Q(1) avec la valeur de ta somme pour n=0 ou n=1 (selon qu'elle commence a 0 ou a 1...)


voila, tu sais presque tous sur les sommes de polynomes ^^

Bonjour,
"pendant qu'on y est" j'aimerais avoir une interprétation géométrique de :


dans la mesure ou c'est égal à

merci

hum...

j'en ai deja vu une (de memoire, on "forme" trois fois cette somme avec des cubes de coté k, et on emboite les trois bloc formé d'une certain facon pour obtenir je sais plus trop quoi (vraisemblablement un gros cube... mais sa colle plus au resultat)...

bon tous compte fait j'ai pas la moindre idee de comment on fais concretement... tous ce que je peut te dire c'est que effectivement sa existe (je sais pas si elle est lié a la somme des n par contre) et que j'ai vu sa sur une image tiré d'un livre qui donné des demonstration "graphique" d'un assez grand nombre de probleme graphique... image disponible sur un site de vente de livre en ligne "quelque part"


tous sa pour dire : essai google, il pourra peut-etre t'aider mieux que moi ^^

je me suis completement planté en fait...


cette preuve dont je parlé etait pour la somme des k²... (et la sa colle beaucoup mieux tous de suite )


donc finalement... j'en sais absoluement rien... désolé

Démonstration graphique.
Avec des petits carrés d'unité 1, constituons successivement des carrés en augmentant chaque fois le carré de 1. Pour achever le carré suivant, on pose des carrés unités le long des côtés supérieur et droit du carré en place, puis on ferme par le coin supérieur droit.
Soit le carré de côté n en place. Pour le former, il a fallu ajouter n-1 carrés pour son bord supérieur, n-1 carrés pour son bord droit et 1 carré pour son coin supérieur droit, soit 2n-1 carrés en tout.
Pour former le carré suivant, il faut ajouter au-dessus n carrés, à droite n carrés et en dehors du coin supérieur 1 carré, soit 2n+1 carré.
A chaque carré, le nombre de petits carré à ajouter augmente de 2.
Or il en a fallu 1 pour créer le carré (1), en ajouter 3 pour former le carré (2), en ajouter le nième nombre impair (égal à 2n-1) pour achever le carré n.
Le carré (n) est ainsi la somme de tous les n premiers nombres impairs.