Bonjour

Les ingrédients:

u surjective il existe v tel que u o v=Id
u injective il existe v tel que v o u= Id
v o u surjective v surjective
v o u injective u injective

Merci d'avoir répondu rapidement Camélia.

Mais moi je suis partie des définitions c'est à dire :

Pour tous x1,x2 appartenant fofof(x1)=fofof(x2) => x1=x2

Donc cette définition doit être equivalente à :

<=> Pour tous y appartenant à E, il existe x appartenant a E tel que f(x)=y

Donc je ne vois pas comment utiliser ces ingrédient la, si tu pouvez m'expliquer .

Bon, allons-y de manière élémentaire. On suppose f injective. Soit y quelconque. On a f(f(f(y))=f(y), mais comme f est injective, on en déduit que y=f(f(y)) donc y est dans l'image et ça prouve que f est surjective.

Réciproque: Supposons f surjective. Soient a et b tels que f(a)=f(b). Il existe c et d tels que a=f(c) et b=f(d). On a alors f(f(c))=f(a)=f(b)=f(f(d)). En appliquant encore une fois f, on trouve c=f(f(a))=f(f(b))=d. Mais alors a=f(c)=f(d)=b.

C'est ce que j'ai rédigé en partant des définitions ( mais en utilisant " x " ) .

Merci pour ton aide Camélia et bonne soirée .