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relation métrique dans le triangle

Posté par
Xarao 24-03-17 à 09:14

bonjour pourriez vous m aider a faire cet exercice
ABC est un triangle.Calculer la longueur des côtes,les angles manquants ainsi que l aire dans le cas suivant:
AB=10;AC=4;ABC=60°

BCcarre=ACcarre+ABcarre-2AB×AC×cos60°
BCcarre=4carre+10carre- 2×4×10×1/2
BCcarre=116-40
BC =racine76

calcul des angles B et C
  a/sin6o=b/sinB=c/sinC
  racine74/sin60=4/sinB=10/sinC
sinB=4× sin60/racine74
sinB=4×racine3/2 /racine74
sinB=4racine3/2 /racine76
et la je bloque je ne sais pas simplifier est ce que je dois multiplier le dénominateur par 2 pour simplifier
sinB=4racine3/2racine76

Posté par
Priamre : relation métrique dans le triangle 24-03-17 à 09:41

Plus exactement, la relation donnant  BC²  est

BC² = AB² + AC² -2AB*ACcosBÂC .

Or, la valeur de l'angle BÂC n'est pas donnée, mais seulement celle de l'angle ÂBC (60°).

Posté par
Xaraore : relation métrique dans le triangle 24-03-17 à 09:48

oupsss je me suis trompé dans l énoncé c est l angle BAC qui fait 60° je ne connaîs pas l angle ABC

Posté par
mathafou Moderateurre : relation métrique dans le triangle 24-03-17 à 09:50

Bonjour,

il y a donc une erreur dans l'énoncé (tout au moins dans ce qui a été copié ici)

parce que avec AB = 10 et l'angle B = 60°, on a forcément AC > 5 (la distance de A à la droite (BC))
ou "Al Kashi" donne une équation du second degré sans solutions (Delta <0) ou si on calcule sin(C) par la loi des sinus, on trouve un sin C > 1

Posté par
mathafou Moderateurre : relation métrique dans le triangle 24-03-17 à 09:51

rien dit, ça a été corrigé entre temps.

Posté par
Priamre : relation métrique dans le triangle 24-03-17 à 10:49

sinB = (4/76)*(3 /2) : exact; à simplifier par 2.

Posté par
Xaraore : relation métrique dans le triangle 24-03-17 à 22:58

merci Priam donc si je simplifie ca me donne
\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{76}}[/tex]est ce que c'est juste

Posté par
Xaraore : relation métrique dans le triangle 25-03-17 à 09:44

oups
\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{76}}

Posté par
Xaraore : relation métrique dans le triangle 25-03-17 à 10:01

sinc=\frac{10\times cos60}{\sqrt{76}}
sinc =\frac{10\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{76}}
sinc=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{76}}
sinc  =83,4°
la somme des angles doit faire 180°
mais quand j'additionne sinA+sinB+sinC=60+23,4+83,4=166,8 donc c'est faux

Posté par
lakere : relation métrique dans le triangle 25-03-17 à 10:29

Bonjour,

  Lorsque tu as une équation du type \sin\,x=a=\sin\,x_0, sur [0,\pi], tu as deux solutions en supposant que x_0\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]:

   x=x_0 ou x=\pi-x_0

Posté par
lakere : relation métrique dans le triangle 25-03-17 à 10:31

Essaie de ne pas confondre arcs et sinus

Posté par
lakere : relation métrique dans le triangle 25-03-17 à 10:37

D' ailleurs, pour éviter ce petit écueil, il est plus pratique de passer par Al Kaschi pour les autres angles:

   \cos\,\widehat{B}=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2bc}

   \cos\,\widehat{C}=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Posté par
Xaraore : relation métrique dans le triangle 25-03-17 à 11:17

merci pour tes réponses
je vois sur un exercice que j'ai déja fait cette maniére de résoudre


BCcarre=ACcarre+ABcarre-2AB×AC×cos60°
BCcarre=4carre+10carre- 2×4×10×1/2
BCcarre=116-40
BC =\sqrt{76}


calcul des angles B et C
[tex]\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}[/tex]



  racine74/sin60=4/sinB=10/sinC
sinB=4× sin60/racine74
sinB=4×racine3/2 /racine74
sinB=4racine3/2 /racine76
et la je bloque je ne sais pas simplifier est ce que je dois multiplier le dénominateur par 2 pour simplifier
sinB=4racine3/2racine76

Posté par
Xaraore : relation métrique dans le triangle 25-03-17 à 11:18

oupsss j'ai envoyer par erreur ce poste

Posté par
lakere : relation métrique dans le triangle 25-03-17 à 11:29

Ma première formule est fausse:

\cos\,\widehat{B}=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}

   \cos\,\widehat{C}=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Posté par
Xaraore : relation métrique dans le triangle 25-03-17 à 11:44

apres quelques recherches j'ai déja eu un type d'exercice comme celui  j'ai suivi la résolution avec mon énoncé et voila ce que ca donne seulement l'histoire du supplément  (180°-83,4=96,6) représente l'angle C j'ai pas trop compris


BCcarre=ACcarre+ABcarre-2AB×AC×cos60°
BCcarre=4carre+10carre- 2×4×10×1/2
BCcarre=116-40
BC =\sqrt{76}


calcul des angles B et C
\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}
\frac{\sqrt{76}}{sin60}=\frac{4}{sinB}=\frac{10}{sinC}


sinB=\frac{4\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{76}}
sinB=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{76}}
avec la calculatrice ABC=23,4

sinc=\frac{10\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{76}}
sinc=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{76}}
or la calculatrice indique 83,4 mais son supplément (180°-83,4=96,6) représente l'angle C.
ACB=96,6°
BAC+ABC+ACB=60°+23,4°+96,6°=180°

l'aire du triangle ABC est \frac{1}{2}\times 4\times 10\times sin60°=\frac{1}{2}\times 4\times 10\times\frac{\sqrt{3}}{2} =10\sqrt{3}

Posté par
lakere : relation métrique dans le triangle 25-03-17 à 12:10

Oui, c' est ça.

Il se trouve que dans ta configuration, l' angle \widehat{C} est obtu.

  Et le sinus d' un angle et de son supplément sont les mêmes:

    \sin\,x=\sin\,(\pi-x) avec x aigu et \pi-x obtu

Donc quand tu utilises la loi des sinus pour déterminer les angles d' un triangle, tu as une indétermination: l' angle que te donne la calculatrice (aigu) ou son supplément (obtu). C' est à toi de choisir.

  Si tu passes par Al Kaschi, tu n' as plus ce problème:

  \cos\,\widehat{C}=\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\times AC\times BC}=\dfrac{4^2+(\sqrt{76})^2-10^2}{2\times 4\times \sqrt{76}}=-\dfrac{1}{\sqrt{76}}

On tombe sur un cosinus négatif: cela signifie que \widehat{C} est obtu et la calculatrice te donne directement le "bon" résultat.


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