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relations entre différents modes de convergence

Posté par
billy 31-12-06 à 15:12

Bonjour, c'est pour mon cours d'intégration,
il faut que je montre que, pour une suite de fonctions (fn), dans l'espace mesuré (X,A,m) :
-la convergence uniforme entraine la convergence dans L
-la convergence dans L entraine la convergence presque partout
-la convergence dans L entraine la convergence dans L2 si m(X) est fini
-la convergence dans L2 si m(X) est fini entraine la convergence dans L1 si m(X) est fini
-et il me faut un contre exemple pour montrer que la convergence dans L1 si m(X) est fini
n'entraine pas forcément le convergence presque partout

avec :
convergence simple : pour tout x fn(x) tend vers f(x)
convergence presque partout : l'ensemble des x ou il n'y a pas convergence de fn(x) vers f(x) est de mesure nulle
convergence uniforme : Sup(|fn(x)-f(x)|) tend vers 0
convergence dans L : EssSup |fn-f| tend vers O
convergence dans L2 : X|fn-f|dm tend vers O
convergence dans L1 : X|fn-f|2dm tend vers O

Ce serait super sympa de m'aider, parce qu'une de ces questions va tomber au prochain partiel, alors merci d'avance

Posté par
Cauchyre : relations entre différents modes de convergence 31-12-06 à 15:15

Bonjour,

t'as reussi quoi la dedans?

Posté par
billyre : relations entre différents modes de convergence 01-01-07 à 18:41

presque rien du tout(le seul truc pour lequel j'ai une vague idée c'est la cv L entraine la cv presque partout), et j'aurai bien besoin d'aide parce que la théorie de l'intégration je trouve ça hyper dur

Posté par
Cauchyre : relations entre différents modes de convergence 01-01-07 à 21:57

Bonne année deja

La convergence uniforme entraine la convergence 3$L^{\infty} est direct.

Vu qu'on a:EssSup|f_n-f|<=Sup|f_n-f|

Ensuite si f_n converge dans 3$L^{\infty} vers f ecrie ce que ca veut dire. En se restreignant sur le complementaire d'un ensemble de mesure nulle tu peux essayer de montrer directement la convergence ou alors essaye par l'absurde.

La convergence 3$ L^{\infty} entraine la convergence la convergence dans 3$L^{2} si m(X) finie:

Ecris 3$X=A\cup A^{C}( et decompose ton intégrale,tu majores un bout grace à la convergence dans 3$L^{\infty} et sur l'autre l'intégrale est nulle car l'ensemble est de mesure nulle.

-la convergence dans 3$L^{2} si m(X) est fini entraine la convergence dans 3$L^{1} si m(X) est fini:essaie d'utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

-et il me faut un contre exemple pour montrer que la convergence dans 3$L^{1} si m(X) est fini
n'entraine pas forcément la convergence presque partout:

Je te propose d'utiliser des fonctions indicatrices d'intervalles 3$I_n dont la longueur tend vers 0 ce qui donnera la convergence dans 3$L^{1} vers 0.

Mais il faut s'arranger pour qu'il n'y ait pas convergence presque partout,par exemple sur [0,1] on peut prendre les 3$I_n de telle sorte que tout x appartienne à une infinité d'intervalles.

On peut les construire comme ceci: 3$I_0=[0,1] puis 3$I_1=[0,\frac{1}{2}]\; \textrm{ et} \;I_2=[\frac{1}{2},1],on continue ainsi de suite en divisant la longueur des intervalles par deux:

3$I_3=[0,\frac{1}{4}]\; \;I_4=[\frac{1}{4},\frac{1}{2}],I_5=[\frac{1}{2},\frac{3}{4}]\; \textrm{ et} \;I_6=[\frac{3}{4},1] etc...

On voit bien que tout x appartient à une infinité d'intervalles et donc on a un contre exemple. Si quelqu'un en as d'autres qu'il n'hésite pas


Voila en espérant pas avoir dit de betises je suis un peu crevé

Posté par
billyre : relations entre différents modes de convergence 02-01-07 à 17:53

merci énormément pour ton aide, tu me sauves la vie
Et bonne année bien sur!

Posté par
Cauchyre : relations entre différents modes de convergence 02-01-07 à 18:24

De rien,je te sauve la vie n'exagerons rien


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