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Relations et matrices

Posté par
Nucleus 28-12-11 à 18:30

Bonjour,

Je bloque sur un exercice :

Soient A et B deux matrices dans Mn(R). La matrice B est dite semblable à A s'il existe une matrice P inversible dans Mn(R) telle que B=P-1AP.

1) Montrer que la relation "semblable" est une relation d'équivalence.
2) Déterminer la classe d'équivalence de la matrice identité In de Mn(R)

Je sais qu'une relation d'équivalence est une relation réflexive, symétrique et transitive mais comment démontrer sur cet exemple ?

merci

Posté par
athrunre : Relations et matrices 28-12-11 à 19:52

Si \Large A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ A=I_nA{I_n}^{-1}.

Voilà pour la réflexivité, essaie pour les autres maintenant.

Posté par
Nucleusre : Relations et matrices 29-12-11 à 00:06

Pour la symétrie j'ai:

(B,A)Mn(R)² B R A A R B

B = In-1AIn et A = In-1BIn donc la relation est symétrique..
C'est bon ?

merci

Posté par
athrunre : Relations et matrices 29-12-11 à 19:02

Ah non c'est faux ça impliquerait que A=B !

Tu prends deux matrices A et B telle que ARB.

Tu veux montrer que BRA :

ARB donc \Large\exists P\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{R}),\ B=P^{-1}AP.   (*)

Tu veux montrer que A s'écrit  \Large A=Q^{-1}BQ\ \text{où}\ Q\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{R}).

Que proposes-tu en utilisant la relation (*) (ARB) ?

Posté par
Nucleusre : Relations et matrices 30-12-11 à 00:37

Si j'ai bien compris il faut trouver deux matrices P et Q ?

merci

Posté par
athrunre : Relations et matrices 30-12-11 à 23:16

Non :  Tu supposes A R B et tu veux démontrer B R A. Donc comme tu supposes A R B, il existe P dans GLn() telle que B= P-1AP. À partir de cette relation il faut que tu trouves Q inversible telle que A=Q-1BQ. Je te donne une indication : Q s'écrit en fonction de P.

Posté par
athrunre : Relations et matrices 02-01-12 à 12:21

Je vais m'absenter donc je mets la réponse à ton exercice :

\Large\text{Si}\ B=P^{-1}AP\ \text{alors en posant}\ Q=P^{-1}\ \text{on a}\ A=Q^{-1}BQ.

Ainsi A R B => B R A.

Pour la transitivité,

\Large\text{Si}\ B=P^{-1}AP\ \text{et}\ C=Q^{-1}BQ\ \text{alors}\ C=Q^{-1}P^{-1}APQ=(PQ)^{-1}APQ.

Donc A R B et B R C => A R C.

Notons \Large \mathcal{C}\ell_R(I_n) la classe d'équivalence modulo R de l'identité.

\boxed{\blue\Large\mathcal{C}\ell_R(I_n)=\{M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})/ M\mathcal{R}I_n\}=\{M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})/\exists\ P\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{R}),\ M=P^{-1}I_nP\}=\{I_n\}}.

Ainsi une matrice est semblable à l'identité si et seulement si c'est l'identité.

Posté par
Nucleusre : Relations et matrices 02-01-12 à 13:32

Merci, j'ai réussi la symétrie .  
J'étudie la transitivité tout de suite.


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