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Niveau Licence Maths 1e ann
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Rendre GLn(R) connexe par arcs

Posté par
LeoZ
23-12-12 à 19:09

Bonsoir,

J'ai essayé de faire l'exo suivant. Je ne suis pas sûr pour la troisième question. Voici l'énoncé complet.

1) Montrer que GLn(C) est connexe
2) Montrer que GLn(R) n'est pas connexe et décrire ses composantes connexes.
3) Soit MGLn(). Montrer que GLn(){M} est connexe par arcs.


Bon déjà je suppose qu'il est sous-entendu par l'énoncé que M est une matrice sur .
A la question 2, j'ai prouvé que GLn a deux composantes connexes (et même connexes par arcs) : l'ensemble des matrices à déterminant positif (resp. négatif)
Pour la question 3, il suffit donc de montrer qu'on peut relier la matrice identité I à la matrice D := diag(-1,1,1,...,1) en passant par M. Il suffit de passer le pont, c'est tout de suite l'aventure...

Je considère l'application f de [0;1] dans C := GLn {M} qui à t associe :
(1-2t)I + 2tM si t1/2 et   2(1-t)M + (2t-1)D sinon
Il suffit de montrer qu'elle est à valeurs dans C puisqu'elle est déjà continue et f(0) = I et f(1) = D

Le problème, c'est que si la norme (triple) de M est trop grande, j'ai bien peur que (1-2t)M + 2tM ne soit pas inversible quand t va devenir trop proche de 1/2.
J'ai donc regardé ce qui arrivait quand on prend M=0 Dans ce cas-là tout va bien. Donc j'ai voulu me ramener à ce cas. En prenant comme point de départ I+M, on est toujours confronté au même problème d'inversibilité. Je me suis dit qu'on pouvait peut-être considérer plutôt une matrice I+kM, de manière à ce qu'elle soit inversible, mais en fait, ça ne nous arrange toujours pas, je ne sais pas si ça sera inversible.

Est-ce que quelqu'un peut me donner une piste ?
Merci d'avance

Posté par
LeoZ
re : Rendre GLn(R) connexe par arcs 23-12-12 à 19:17

Oh, il faut peut-être utiliser la densité de GLn dans Mn !

Posté par
LeoZ
re : Rendre GLn(R) connexe par arcs 23-12-12 à 19:50

Rebonsoir,

Excusez-moi de faire post sur post, je pense avoir trouvé comment faire mais j'aimerais tout de même confirmation... Je ne sais pas comment supprimer les messages inutiles ou éditer mes posts...

En fait, je pose k = |||M|||. Par densité de GLn, il existe une matrice A dans de déterminant strictement positif et à distance inférieure à k de M. Je prends f(t) = (1-2t)A + 2tM = A(I + 2tA-1(M-A))
et maintenant si je ne me trompe pas, on a norme de M-A plus petit que k et norme de A-1 pas beaucoup plus grand que 1/k (on n'aura qu'à ajuster plus tard mais je veux juste savoir si je suis sur la bonne voie) et donc la matrice devrait bien être inversible...

Posté par
GaBuZoMeu
re : Rendre GLn(R) connexe par arcs 23-12-12 à 20:41

Moi, je me ramènerais à avoir la matrice M sous une forme très simple (au moyen de la relation d'équivalence entre matrices - pas la similitude) et après je pourrais bricoler la forme très simple.

Posté par
LeoZ
re : Rendre GLn(R) connexe par arcs 23-12-12 à 20:50

Salut,

Tu veux dire que si je note r le rang de M et que j'écris M = PJQ, avec P,Q inversibles et J la matrice diag(1,1,...,1,0,0,0,...,0) (changement en r) je peux dire que
(1-2t)PQ + 2tM = P((1-2t)I + 2tJ)Q ? et alors (1-2t)I + 2tJ on voit bien qu'elle est tout le temps inversible sauf quand t=1/2 !
C'est comme ça que tu voudrais dire ? (en fait je ne pars plus de I mais de la matrice PQ). Et une fois que je suis sur le pont, je rejoins la matrice PQD de l'autre côté ?

Posté par
GaBuZoMeu
re : Rendre GLn(R) connexe par arcs 24-12-12 à 09:59

Non, je ne veux pas tout à fait dire ça. Tu démarres bien en écrivant M = PJQ, avec P,Q inversibles et J la matrice diag(1,1,...,1,0,0,0,...,0). Le problème avec (1-2t)I + 2tJ, c'est qu'on ne contrôle pas le signe de son déterminant (je veux dire que le déterminant ne change pas forcément de signe quand t change de signe). Donc il vaut mieux procéder simplement en considérant deux perturbations différentes de J dont on est sûr qu'elles donnent des signes opposés au déterminant.

Posté par
LeoZ
re : Rendre GLn(R) connexe par arcs 24-12-12 à 10:10

Salut,

Ben pourtant, je pense avoir réussi comme ça, sauf que j'ai pris pour ma matrice D un 1 en bas à droite au lieu d'en haut à gauche.
J'ai supposé det(PQ)>0 (l'autre cas est similaire). Maintenant je considère (1-2t)PQ + 2tM pour t<1/2, et là, c'est bien de déterminant positif, puisque on factorise en P((1-2t)I + 2tJ)Q. Et le déterminant de la matrice centrale, c'est 1r (1-2t)n-r et c'est bien positif quand t<1/2 non ?

Et après je fais pareil de M à PDQ quand t>1/2...

Posté par
GaBuZoMeu
re : Rendre GLn(R) connexe par arcs 24-12-12 à 10:15

Ok, j'ai compris ce que tu voulais dire. Mais tu te compliques un peu inutilement la vie, à mon avis : il suffit de considérer une première perturbation J+\epsilon I et une deuxième perturbation J+\epsilon D avec D=diag(1,\ldots,1,-1).

Posté par
LeoZ
re : Rendre GLn(R) connexe par arcs 24-12-12 à 10:19

Je ne comprends pas vraiment. On choisit epsilon pour vérifier quelle condition ? On veut relier J + I à J ?

Posté par
GaBuZoMeu
re : Rendre GLn(R) connexe par arcs 24-12-12 à 10:28

Désolé, ça me semblait clair. Prends \epsilon dans [0,1] si tu veux et considère d'un côté P(J+\epsilon I)Q et de l'autre P(J+\epsilon D)Q.

Posté par
LeoZ
re : Rendre GLn(R) connexe par arcs 24-12-12 à 10:30

Ah ok, ton epsilon c'est le paramètre du segment ! Oui d'accord
Merci

Posté par
GaBuZoMeu
re : Rendre GLn(R) connexe par arcs 24-12-12 à 12:05

Avec plaisir.



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